На главную страницу НМУ

А.М.Филимонов

Уравнения с частными производными

Комментарий

Этот курс можно рассматривать, как продолжение курса, прочитанного в предыдущем семестре. Однако, изложение материала почти не будет опираться на этот предыдущий курс. Необходимые сведения будут кратко напоминаться с указанием литературных источников, из которых можно почерпнуть детали.

Программа

• Уравнения с частными производными первого порядка.
  • Связь с группами и алгебрами Ли. Пример применения: принцип суперпозиции в нелинейных задачах.
• Метод характеристик.
  • Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Волны от движущегося источника. Что будет, если скорость движения источника выше скорости звука?
  • "Бегущие волны" и метод характеристик для гиперболических систем уравнений. Канонические формы Шаудера и Римана. Волны Римана. Пример: волны в нелинейных одномерных средах. "Истинно нелинейные" (в смысле Лакса) системы.
  • "Бегущие волны" для нелинейных уравнений высших порядков. Примеры: уравнение Буссинеска, уравнение КДФ, квазилинейное уравнение теплопроводности.
• Метод "стоячих волн".
  • Схема метода Фурье. Дисперсионные соотношения. Обобщения. Примеры.
  • Линейные уравнения высших порядков. Нестрого гиперболические (в смысле Гординга) уравнения и их связь с проблемой Ферми - Паста - Улама.
  • "Стоячие волны" в нелинейных задачах. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
• Вариационный метод.
  • Принцип экстремального действия. Задачи.
  • Задача о минимуме квадратичного функционала. Положительно определенные операторы. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейший вариант теоремы вложения Соболева. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен).
  • Вариационный подход в нелинейных задачах.