На главную страницу НМУ

М.З.Ровинский (M.Rovinski)

Теория полей классов (Class field theory)

(рекомендовано для 3 курса)

Записки лекций (Lecture notes)

[Gzipped postscript|Zipped postscript]

Экзамен (Take-home exam)

[Postscript (22K)|Zipped postscript (10K)]

Многие вопросы теории чисел естественно приводят к изучению конечных расширений поля рациональных чисел. Так, попытки решения уравнений вида xp+yp=1 рациональных числах, приводят к рассмотрению кругового поля, получаемого присоединению к Q корней степени p из единицы. В терминах этого поля также удобно описывать символ Лежандра и доказывать квадратичный закон взаимности.

Основное внимание будет уделено явным конструкциям расширений полей, в частности, комплексному умножению и явным законам взаимности, а также их приложениям.

Используемая когомологическая техника и аналогия между числовыми полями и полями функций кривых будут объяснены по ходу дела.

Примерное (видимо, слишком оптимистическое) содержание

  1. Введение: теорема Ферма в некоторых частных случаях.
  2. Теория Галуа: поля, их расширения и автоморфизмы.
    1. Конечные поля.
    2. Абелевы расширения полей "со многими корнями из единицы".
  3. Нормирования и локальные поля.
    1. Кольца целых и единицы.
    2. Ветвление и фильтрация на локальных группах Галуа.
    3. Локальная теория полей классов: мультипликативные группы и абелевы группы Галуа; группы Брауэра; невырожденность символа Гильберта; K2.
    4. Формальные группы и явные конструкции абелевых расширений локальных полей.
    5. p-расширения локальных полей.
  4. Символ степенного вычета и законы взаимности.
    1. Квадратичный закон взаимности и круговые поля.
    2. Биквадратичный закон взаимности и абелевы расширения поля гауссовых чисел.
    3. Кубический закон взаимности.
    4. Закон взаимности Эйзенштейна для круговых полей.
    5. Символ норменного вычета.
  5. Числовые (и глобальные) поля.
    1. Нормирования и пополнения.
    2. Кольца целых и единицы.
    3. Идеалы и группа классов идеалов.
    4. Кольца аделей и идели.
    5. Глобальная теория полей классов: группы классов иделей и абелевы группы Галуа.
    6. Дзета-функция Дедекинда. Теорема Чеботарева о плотности.
  6. Явные конструкции абелевых (и почти абелевых) расширений числовых полей.
    1. построение Qab с помощью значений тригонометрических функций;
    2. построение Qab+ε с помощью значений гамма-функции;
    3. построение абелевых расширений мнимых квадратичных полей с помощью значений модулярной и эллиптических функций: теория "комплексного умножения".
  7. Мнимые квадратичные поля с однозначным разложением на множители в кольце целых (и почему "e в степени пи корней из 163" — целое, с точностью до 10-12.
  8. Восстановление числовых полей по абсолютной группе Галуа.

Rambler's Top100