На главную страницу НМУ

Андрей Кустарев

Гомологии Хованова и их модификации

Записки лекций

Zipped postscript

[Записки лекций (87K)]

Postscript

[Записки лекций (430K)]

Гомологии Хованова узлов и зацеплений появились недавно, но уже успели приобрести большую известность в математике. За прошедшее время появились модификации этой теории, одна из которых в конечном итоге привела Дж.Расмуссена к элементарному доказательству гипотезы Милнора о роде торического узла (первоначально доказанной при помощи калибровочной теории). Мы разберем это доказательство, а также некоторые смежные вещи.

Примерная программа

1. Полином Джонса и скобка Кауфмана. Полиномы Джонса и Александера как результаты замены переменной в полиноме HOMFLY.

2. Гомологии Хованова Kh(L). Определение, корректность, примеры вычисления и связь с полиномом Джонса. Гомологии Хованова зеркальных образов зацеплений. Точная последовательность, возникающая при разрешении перекрестка.

3. Гомологии Хованова-Ли Kh'(L): возмущение дифференциала, приводящее к тривиальности гомологий. Cпектральная последовательность с членом E_2 = Kh(L), сходящаяся к Kh'(L).

4. Явное описание образующих в теории Хованова-Ли и определение s(L) (инварианта Расмуссена).

5. Свойства s(L): зеркальные узлы, связная сумма узлов, явное вычисление для зацеплений с положительными перекрестками.

6. Кобордизмы зацеплений, оценка четырехмерного рода узла и доказательство гипотезы Милнора.

7*. Гомологии Хегора-Флоера (комбинаторная конструкция из работы Ожвата-Манолеску-Саркара) и связь с полиномом Александера.

8**. Конструкция Хованова, дающая sl(3)-квантовый полином Джонса.

9**. Гомологии Хованова-Розанского. (число звездочек обратно пропорционально вероятности разбора темы).


Rambler's Top100