А.Н.Соболевский

Конкретная теория вероятностей

Записки лекций

Требования к экзамену:

По курсу "Конкретная теория вероятностей" экзамен будет проводиться в понедельник 20 декабря по нашему обычному расписанию (две последних пары).

Экзамен письменный, на нем будет предложено шесть задач по следующим темам (не обязательно по всем из них):
- метод производящих функций для целочисленных случайных величин;
- метод характеристических функций для скалярных случайных величин;
- поведение распределений вероятности при различных преобразованиях (замены переменных, сложение случайного числа случайных слагаемых и т.п.);
- теоремы Санова и Крамера в теории больших уклонений;
- энтропия дискретного распределения вероятности и ее свойства;
- простейшие задачи статистического оценивания;
- цепи Маркова с конечным числом состояний.

За каждую из шести задач начисляется до 3 баллов (0 - задача не была начата, 1 - неверное или существенно неполное решение, 2 - решение с легко исправимой ошибкой и т.п. несущественными недостатками, 3 - полное и правильное решение).
Ориентировочно оценка
"отлично" будет выставляться за 15-18 баллов,
"хорошо" - за 10-14,
"удовлетворительно" - за 6-9,
ниже - "неудовлетворительно".

Краткая программа курса

1. Целочисленные случайные величины, производящие функции.
2. Непрерывные скалярные и векторные случайные величины, характеристические функции.
3. Последовательность независимых испытаний и закон больших чисел. Сходимость по вероятности.
4. Центральная предельная теорема.
5. Устойчивые законы и обобщенная центральная предельная теорема.
6. Статистика экстремальных значений.
7. Большие уклонения в дискретном и непрерывном случае.
8. Информация и статистический вывод.
9. Проверка статистических гипотез.
10. Еще раз о последовательности независимых испытаний. Пространство элементарных событий.
11. Эргодичность однородной цепи Маркова с конечным числом состояний.
12*. Непрерывный предел случайного блуждания. Уравнение Фоккера-Планка.
13*. Понятие о стохастическом интегрировании.
14. Процесс Пуассона. Звездочки означают, что при недостатке времени эти темы могут быть сокращены или опущены.