На главную страницу НМУ

Георгий Борисович Шабат

Алгебра-1

Видеозаписи лекций

Листки (Exercise sheets).pdf

[Листок 1.pdf|Листок 2.pdf|Листок 3.pdf|Листок 4.pdf]
[Листок 5.pdf|Листок 6.pdf|Листок 7.pdf|Листок 8.pdf]
[Листок 9.pdf|Листок 10.pdf]

Программа курса

0. Вводные сюжеты

0.0. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

0.1. Уравнения третьей и четвёртой степени с одной неизвестной

0.2. Обобщение: системы полиномиальных уравнений

0.3. Что требуется от коэффициентов и от компонент решений?

0.4. Полукольца, кольца, поля, тела.

0.5. О десятой проблеме Гильберта.

1. Категории алгебраических систем

1.0. Категории

1.1. Категория множеств

1.2. Элементы универсальной алгебры

1.3. Коммутативность, ассоциативность

1.3. Полугруппы эндоморфизмов и группы автоморфизмов

1.4. Функторы

1.5. Нестандартные примеры: кольца с композицией, тернары

1.6. Классификационные задачи алгебры

2. Группы

2.0. Перечисление малых групп

2.1. Подгруппы, теорема Лагранжа

2.2. Нормальные подгруппы и фактор-группы

2.3. Прямые и полупрямые произведения групп

2.4. Расширения групп

2.5. Простые группы

2.6. Задание групп образующими и соотношениями

3. Действия групп на множествах

3.0. Определения. Стационарные группы и орбиты.

3.1. Группы перестановок

3.2. Формула орбит и её применения

3.3. Группы автоморфизмов в геометрии

3.4. 3-транзитивные и 2-транзитивные группы

3.5. Замощения и треугольные группы

3.6. Группы, порождённые парами перестановок

3.7. Категории G-множеств и G-модулей

4. Кольца

4.0. Кольцоиды и идеалы в них

4.1. Операции над идеалами

4.2. Идеалы и эпиморфизмы колец

4.3. Кольца многочленов

4.4. Простые и примарные идеалы; целостные кольца

4.5. Кольца главных идеалов и делимость в них

4.6. Разложение идеалов в пересечение примарных

5. Поля

5.0. Характеристика поля. Минимальнве поля.

5.1. Конечные поля

5.2. Конечные расширения и поля разложения

5.3. Алгебраическое замыкание поля

5.4. Сепарабельные и нормальные расширения

5.5. Основная теорема теории Галуа

6. Векторные пространства и модули

6.0. Определения.

6.1. Размерность и базис векторного пространства.

6.2. Координатное пространство

6.3. Классификация конечномерных векторных пространств

6.4. Размерность образа и ранг матрицы

6.5. Сопряжённое пространство

6.6. Модули над кольцами главных идеалов

6.7. Конечнопорождённые абелевы группы

6.8. Жорданова форма эндоморфизма векторного пространства

7. Алгебры

7.0. Определения

7.1. Коммутативные и ассоциативные алгебры

7.2. Алгебры эндоморфизмов векторного пространства и алгебры квадратных матриц

7.3. Алгебры Ли

7.4. Симметрическая алгебра векторного пространства

7.5. Внешняя алгебра векторного пространства

7.6. Действие эндоморфизмов на внешней алгебре

7.7. Определитель

7.8. Обращение матриц

8. Системы линейных уравнений

8.0. Сведение системы к матричному уравнению

8.1. Размерность пространства решений и ранг матрицы

8.2. Правило Крамера

8.3. Теорема Кронекера-Капелли

9. Разрешимость уравнений в радикалах

9.0. Разрешимые уравнения и циклические расширения полей

9.1. Разрешимость групп S3 и S4

9.2. Снова корни уравнений 3-й и 4-й степени

9.3. Простота группы A5

9.4. Неразрешимость в радикалах уравнений высших степеней

9.5. Дальнейшее развитие теории