На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Анализ на многообразиях

Экзаменационное задание

Листки

[ Листок 1 | Листок 2 | Листок 3 | Листок 4 ]
[ Листок 5 | Листок 6 | Листок 7 | Листок 8 ]
[ Листок 9| Листок 10| Листок 11| Листок 12 ]

Примерная программа

1. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, теорема о ранге. Поверхности в аффинных пространствах, способы их задания.

2. Гладкие многообразия. Разбиение единицы. Отображения многообразий.

3. Касательные векторы и дифференциалы отображений. Касательное и кокасательное пространство.

4. Погружения, вложения, подмногообразия.

5. Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни.

6. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожденная векторным полем.

7. Распределения и теорема Фробениуса.

8. Тензорные поля, дифференциальные формы. Риманова метрика, форма объема. Внешний дифференциал.

9. Производная Ли. Тождество Картана. Операция Ходжа. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией.

10. Ориентация многообразия. Плотности. Интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Интегрирование по цепям, теорема Стокса для интегрирования по цепям.

11. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь с формулами Грина, Стокса и ГауссаОстроградского.

12. Элементы теории групп и алгебр Ли.

13. Действия групп Ли. Однородные многообразия.

14. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным но- сителем. Лемма Пуанкаре. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса.

15. Свойства когомологий де Рама (конечномерность, формула Кюннета и так далее). Теорема де Рама. Теорема Ходжа (без доказательства).