Аркадий Борисович Скопенков

Алгебраическая топология многообразий в интересных задачах

Спецкурс для 2-5 курса.

Аннотация

Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наиболее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов. На спецкурсе изучаются основные методы алгебраической и дифференциальной топологии, полезнейшие для их приложений. Это гомотопические инварианты отображений, конструкция Понтрягина, гомологии, характеристические классы и векторные расслоения. В частности, будут даны построения и наброски доказательств знаменитых примеров нестан- дартной 7-мерной сферы (Милнор) и трехмерного узла в 6-мерном пространстве (Хефлигер). Основные идеи представлены на "олимпиадных" примерах: размерности не выше 3, на простейших частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением к необходи- мому минимуму алгебраического языка. За счет этого спецкурс доступен для начинающих, хотя содержит красивые сложные результаты. Для его изучения достаточно знакомства с основами топологии многообразий (например, в объеме глав 1-6, 8 и 10 из [S].) Основная часть материала будет изучаться в виде решения задач участниками (с подроб- ными указаниями и последующим разбором на занятии).

Программа

Три классические проблемы топологии: гомеоморфизма, вложимости и заузливания. Простейшие результаты. Нестандартная сфера Милнора. Заузленная сфера Хефлигера.
Конструкция Понтрягина: оснащенные многообразия и их кобордизмы. Гомотопиче- ская классификация отображений n-мерного многообразия в n-мерную сферу (Хопф) и в (n - 1)-мерную сферу (Хопф-Понтрягин-Фрейденталь-Стинрод-Ву), а также ненулевых ка- сательных векторных полей на многообразии.
Гомотопическая классификация отображений многообразия в окружность и в беско- нечномерные проективные пространства (вещественное и комплексное). Реализуемость под- многообразиями циклов коразмерности 1 и 2.
Гомологии многообразий. Пересечение в гомологиях многообразий. Двойственность Пуанкаре (простая и сложная части).
Эйлерова характеристика - инвариант кобордизма. Сигнатура - инвариант ориенти- рованного кобордизма. Аддитивность сигнатуры. Классификация маломерных многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
Геометрическое определение характеристических классов Штифеля-Уитни и Понтря- гина. Числа Штифеля-Уитни и Понтрягина - инварианты кобордизма. Теорема Тома о клас- сификации многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
Нормальные классы Уитни. Препятствия Уитни к погружаемости и к вложимости многообразий. Инвариант Уитни вложений многообразий.
Векторные расслоения. Теорема о трубчатой окрестности. Нормальные расслоения. Несуществование алгебр с делением и невложимость проективных пространств.
* Теорема Хирцебруха о сигнатуре для 4- и 8-мерных многообразий. Набросок вывода из теоремы Тома. Применение: инвариант Милнора 7-мерных гомотопических сфер.
* Классификация оснащенных узлов и тел с ручками. Инвариант Хефлигера.

Литература

[FF] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.

[P] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, Москва, МЦНМО, 2015, http://www.mccme.ru/prasolov

[S] А.Б. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения, Москва, МЦНМО, 2015, http://www.mccme.ru/circles/oim/home/combtop13.htm#photo