На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Анализ на многообразиях

Листки (Exercise sheets).pdf

[ Листок 1.pdf | Листок 2.pdf | Листок 3.pdf | Листок 4.pdf ]
[ Листок 5.pdf | Листок 6.pdf | Листок 7.pdf | Листок 8.pdf ]

Программа курса

  1. Регулярные параметрические кривые и (k-мерные) поверхности в аффинных пространствах. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, теорема о ранге. Неявный способ задания поверхностей. Гладкие функции и отображения поверхностей. Касательные векторы, касательное пространство. Производная вдоль касательного вектора.

  2. Гладкие многообразия. Гладкие функции и отображения многообразий. Разбиение единицы.

  3. Касательные векторы и дифференциалы отображений. Касательное и кокасательное пространство.

  4. Погружения, вложения, подмногообразия.

  5. Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни.

  6. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожденная векторным полем.

  7. Распределения и теорема Фробениуса.

  8. Тензорные поля, дифференциальные формы. Риманова метрика, форма объема. Внешний дифференциал.

  9. Производная Ли. Тождество Картана. Операция Ходжа. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией.

  10. Ориентация многообразия. Плотности. Интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Метрика и форма объема, объем. Интегрирование по цепям, теорема Стокса для интегрирования по цепям.

  11. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь с формулами Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.

  12. Элементы теории групп и алгебр Ли.

  13. Действия групп Ли. Однородные многообразия.

  14. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носителем. Лемма Пуанкаре. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса.

  15. Свойства когомологий де Рама (конечномерность, формула Кюннета и так далее). Теорема де Рама. Теорема Ходжа (без доказательства).

Rambler's Top100