На главную страницу НМУ

На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в весеннем семестре 2004 года.

What follows is the list of talks at the IUM general seminar ``Globus'' delivered during spring semester, 2004. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some (those for which lecturer's name in English is present) there are lecture notes in postscript format.


Talks (Spring 2004)


15.01.2004, 15-40

В.В.Шокуров

(Johns Hopkins University, Baltimore)

Бирациональная геометрия и численные инварианты алгебраических многообразий


29.01.2004, 15-40

Сергей Нечаев

(Лаборатория РФЛ-МИФ CNRS и НМУ)

Вероятностные проблемы в топологии

В докладе будет дан обзор проблем, относящихся к новому направлению в математической физике, "вероятностной топологии", которое возникло в последнее десятилетие в пограничной области между топологией и теорией вероятности. В частности, будут рассмотрены задачи, связанные со статистикой случайных блужданий на многосвязных пространствах и на некоммутативных группах (типа свободной группы и группы кос). Мы также коснемся вопросов о нетривиальных статистических распределениях на диаграммах узлов.


12.02.2004, 15-40

О.К.Шейнман

НМУ и МИ РАН

Алгебры Кричевера-Новикова и их представления

В 1987 году И.М.Кричевер и С.П.Новиков показали, что классу данных, хорошо известному в теории интегрируемых систем и служащему для параметризации алгебро-геометрических решений, а именно, римановой поверхности с отмеченными точками и фиксированными струями координат в них, можно сопоставить аналоги аффинных алгебр Каца-Муди и Вирасоро. Они предположили, что введенные ими алгебры могут быть более адекватным объектом в конформной теории поля, чем их предшественники, и показали это на примере тождеств для тензора энергии-импульса и вычислений корреляционных функций.

С появлением нового класса алгебр Ли естественно возникли задачи изучения их структуры и представлений. Первый сюрприз, который преподнесли аффинные алгебры Кричевера-Новикова, заключается в том, что теория Картана-Вейля (теория старшего веса) оказалась недостаточной для описания их представлений. К счастью, другой общий метод, метод орбит Кириллова, позволил понять, от каких параметров должны зависеть представления. В 1989 году автору удалось связать орбиты с представлениями фундаментальной группы (проколотой) римановой поверхности, а в 2000-2001 г.г. --- предложить конструкцию представлений аффинных алгебр Кричевера-Новикова по голоморфным расслоениям на римановых поверхностях. Замечательно, что эта конструкция тесно связана с теорией интегрируемых систем разностных операторов (И.М.Кричевер, С.П.Новиков, 2000-2004 г.г.). Таким образом, в теории алгебр Кричевера-Новикова происходит удивительный синтез классических методов теории представлений и алгебраической геометрии. Проблема Римана-Гильберта выступает здесь как часть задачи классификации орбит, а геометрическое соответствие Лэнглэндса (Дринфельд, Бейлинсон) оказывается соответствием между орбитами и представлениями.

Конформная теория поля с алгебрами Кричевера-Новикова в качестве алгебр калибровочных и конформных симметрий также выглядит крайне естественной. В частности, она позволяет явно сформулировать уравнения Книжника-Замолодчикова для положительного рода.


19.02.2004, 15-40

А.М.Виноградов

Вторичное дифференциальное исчисление

Подобно тому, как с системой алгебраических уравнений связывается соответствующее ей алгебраическое многообразие, со всякой системой (нелинейных) дифференциальных уравнений в частных производных канонически связывается некий геометрический объект, называемый диффеотопом. Он несет в себе всю информацию об исходном уравнении в "наиболее удобном для раскодировки" виде. Естественная же "операционная система", используемая при ее раскодировании, называется вторичным дифференциальным исчислением. Обычное дифференциальное исчисление является нульмерным частным случаем вторичного.

Предполагается неформально объяснить, что такое вторичное дифференциальное исчисление, как оно связано со стандартной математикой и почему оно важно для квантовой физики.


11.03.2004, 15-40

Вадим Калошин

(Caltech, IAS и AIM)

Random walks along orbits of chaotic maps

Let f: T^d -> T^d be a measure preserving map of a d-dimensional torus T^d with a smooth measure \mu. For example, the "cat" map given by the matrix

(2 1)
(1 1)

and the Lebesgue measure. Let p: T^d -> (0,1) be a smooth (random environment) function. Consider a random walk. A point x\in T^d jumps to the image fx with probability p(x) and into the preimage f^{-1}x with probability 1-p(x). We are interested in distribution of a point after a large time. Strangely enough if f is chaotic and p generic random walks of x become nonrandom. Namely, with probability arbitrary close to 1 position of image of point x after a long time is located in a set of arbitrary small measure on T^d. In other words, distribution of image of x is getting strongly localized as time increases. This is related to Sinai-Golosov localization of random walks in random environment. Other aspects will be discussed too. This is a joint work with Ya.G.Sinai.


01.04.2004 (no kidding!), 15-40

М.Шлихенсайер

(University of Luxembourg)

Berezin-Toeplitz deformation quantization of compact Kahler manifolds

Quantizable Kahler manifolds are Kahler manifolds with a distinguished Hermitian line bundle (the quantum line bundle) such that the curvature form of this line bundle is essentially equal to the Kahler form. Moduli spaces, very often, carry such structure in a natural manner.

In this context the Berezin-Toeplitz operator quantization can be defined. For compact quantizable Kahler manifolds it is shown that it has the correct semi-classical limit. In particular, by some refinement of the technique, the existence of a formal deformation quantization (the Berezin-Toeplitz deformation quantization) compatible with the complex structure follows.

Part of the results presented are joint work with Martin Bordemann and Eckhard Meinrenken, and Alexander Karabegov, respectively.


15.04.2004, 15-40

А.А.Глуцюк

Униформизация. Расслоенные версии и новое доказательство

Классическая теорема Пуанкаре-Кёбе об униформизации говорит, что всякая некомпактная односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна либо диску, либо комплексной прямой. В докладе будет рассказано о следующих версиях теоремы Пуанкаре-Кёбе.

1) Локальная и глобальная интегрируемость почти комплексной структуры на двумерной поверхности (классические теоремы Корна, Лихтенштейна, Лаврентьева, Морри, ...; по теореме Морри, всякая "ограниченная" измеримая почти комплексная структура на \overline{\mathbb{C}} эквивалентна стандартной). Эта теорема имеет многочисленные важные применения в разных областях математики, в первую очередь, в теории клейновых групп и в голоморфной динамике.

2) Расслоенные версии (одновременная униформизация слоений на римановы поверхности). Одна из них - теорема Берса об одновременной униформизации для голоморфных слоений на компактные римановы поверхности без особенностей. Другие (доказанные докладчиком в 1999-2000 гг.) относятся к (неголоморфным) двумерным слоениям с гладким семейством (почти) комплексных структур на листах, где каждый лист - это риманова поверхность, конформно-эквивалентная \mathbb{C}.

При доказательстве одной из расслоенных версий (гипотезы, принадлежащей Э.Жису) было получено новое доказательство теоремы униформизации и её почти комплексного аналога. Это доказательство (о котором также будет рассказано в докладе) основано на методе гомотопии для уравнения Бельтрами на торе. Оно использует только элементарный L_2-анализ на \mathbb{T}^2 (включая теорему Соболева о вложении) и нормальность семейства однолистных функций.

Все необходимые понятия будут определены в докладе.


27.05.2004, 15-40

Л.Кауфман

(Univ. of Illinois, Chicago)

Non-Commutative Worlds

This talk is about non-commutativity in physics, calculus and topology. We begin by pointing out how the difference quotient in classical discrete calculus can be readjusted to satisfy the Leibniz rule( (fg)' = f'g + fg') at the expense of embedding it in a non-commutative framework, and reexpressing the derivative as a commutator, Df = [f,J], for an appropriate operator J with the property that f(x)J = Jf(x + \delta) where \delta is the increment in the discrete calculus. This suggests reformulating multivariable calculus entirely in terms of commutators. Inside this algebra, $\cal G$, we set up a flat reference world (where all the derivatives commute with one another). The commutators for this flat world have the formal appearance of basic quantum mechanics. The non-commutative world as a whole is full of curvature in the sense of non-commuting derivations The dynamical law is $dX_{i}/dt = \cal A_{i}$ where $\cal A$ is some time-varying element in ${\cal G}^{n}$. There is a pivot between commutators and Poisson brackets. Everything said with commutators can be said with Poisson brackets, but the interpretations shift. We did not start with Poisson brackets. We started with commutators and found our way to Poisson brackets. We then show how Hamiltonian mechanics, gauge theory formalism and certain aspects of geometry (e.g. the Levi-Civita connection corresponding to a given metric) fit naturally into this non-commutative world with the Jacobi identity as the key. Here we see a new approach to the formalism of differential geometry, based not on the concept of parallel translation, but rather on the concept of an abstract trajectory in an initially algebraic world. Such algebraic worlds are not yet spaces. The mystery is that, via the use of Poisson brackets, spaces are associated with such worlds, and classical and classical quantum mechanics can arise. We shall discuss the meaning of these transitions. We will compare this foray into non-commutativity with patterns from quantum groups, knot invariants and the use of the Jacobi identity in the study of Vassiliev invariants of knots and links and in the coloring of graphs.


17.06.2004, 15-40

А.В.Зеелвинский

(Northeastern University)

An introduction to cluster algebras

Cluster algebras are a class of commutative rings introduced by Sergey Fomin and myself in the Spring 2000. The original motivation behind them was to design an algebraic framework for the study of total positivity and canonical bases in semisimple groups. Since their inception, the intriguing connections emerged with a variety of subjects: Y-systems and thermodynamic Bethe ansatz, generalized associahedra, Poisson geometry and Teichmuller theory, quiver representations, to name a few. After introducing cluster algebras, I will discuss their main structural properties including the finite type classification which turns out to be completely parallel to the famous Cartan-Killing classification.


Rambler's Top100