На главную страницу НМУ

А.М.Левин, В.В.Доценко, С.А.Дориченко (A.Levin, V.Dotsenko, S.Dorichenko)

Алгебра, 1 курс, упражнения (Algebra, 1st year, exercises)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (18K)|Листок 2 (19K)|Листок 3 (20K)|Листок 4 (20K)
Листок 5 (30K)|Листок 6 (27K)|Листок 7 (28K)|Листок 8 (26K)
Листок 9 (17K)|Листок 10 (18K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (8K)|Листок 2 (8K)|Листок 3 (8K)|Листок 4 (9K)
Листок 5 (12K)|Листок 6 (11K)|Листок 7 (11K)|Листок 8 (11K)
Листок 9 (7K)|Листок 10 (8K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (53K)|Zipped postscript (20K)]

Второй домашний экзамен (Second take-home exam)

[Postscript (47K)|Zipped postscript (18K)]

Программа курса

  1. Классификационные задачи линейной алгебры.
    1. Прямая сумма векторных пространств и отображений. Задачи о жордановой форме матрицы и каноническом виде квадратичной формы как примеры разложения в прямую сумму простейших.
    2. Классификация наборов из одного и двух флагов в векторном пространстве.
    3. Классификация отображений из одного пространства в другое.
    4. (*) Классификация наборов из трех подпространств в векторном пространстве.
  2. Билинейные и полилинейные функции. Тензорное произведение двух векторных пространств. Координатное и бескоординатное определение тензорного произведения. Естественные изоморфизмы типа Hom(V,W)=V*\otimes W.
  3. Действие группы на множестве.
    1. Орбита, стабилизатор. Формула card(Gx)=card(G/Gx).
    2. Классы сопряженности группы. "Формула классов".
    3. Нормализатор, централизатор, центр. Простые группы. Примеры (существование центра у p-группы, простота групп An и т.д.).
    4. Теоремы Силова и их следствия (применение для доказательства непростоты, классификация групп малых порядков).
  4. Теория представлений конечных групп.
    1. Лемма о неподвижной точке. Теорема Машке.
    2. Сплетающие операторы. Лемма Шура.
    3. Характеры и матричные элементы. Соотношения ортогональности. Применение для разложения представления в сумму неприводимых.
    4. Групповая алгебра. Разложение групповой алгебры как представления группы (относительно действия левыми сдвигами).
    5. Разложение комплексной групповой алгебры в прямую сумму матричных.
    6. Лемма о бикоммутанте (двойном централизаторе).
    7. Индуцированные представления. Определение и простейшие свойства.
Rambler's Top100