На главную страницу НМУ

Группы голономий и кэлерова геометрия

Миша Вербицкий

март-апрель 2005

С каждым римановым многообразием связана связность Леви-Чивита и группа голономии, порожденная параллельными переносами реперов вдоль связности. Если представление этой группы приводимо, то многообразие локально разлагается в произведение (это разложение совместимо с римановой метрикой).

Группы голономий неприводимых (и не симметрических) римановых многообразий допускают классификацию, которая восходит к Марселю Берже:

Голономия	геометрия
SO(n), действующяя Rn	римановы многообразия
U(n), действующяя на R2n	кэлеровы многообразия
SU(n), действующяя на R2n, n>2	многообразия Калаби-Яу
Sp(n), действующяя на R4n	гиперкэлеровы многообразия
Sp(n)×Sp(1)/{1,-1}, действующяя на R4n, n>1	кватернионно-кэлеровы многообразия
G2 действующяя на R7,	G2-многообразия
Spin(7), действующяя на R8	Spin(7)-многообразия

Эта классификация играет центральную роль в современной дифференциальной геометрии, с набором приложений к алгебраической геометрии и струнной физике.

Будет прочтен небольшой (5-6 лекций) курс лекций о теории голономий, кэлеровой геометрии, гиперкэлеровой геометрии и геометрии многообразий Калаби-Яу.

Желательно знать основы топологии (определение многообразий, расслоений и когомологий де Рама), основы линейной алгебры (тензоры, группы Ли, представления групп) и дифференциальной геометрии (определение связности). Знаний в объеме второго-третьего курса НМУ должно хватить.

Примерная программа лекций

1. Связность Леви-Чивита (существование, единственность). Симметрии тензора кривизны. Группа голономий и теорема Амброза-Зингера. Теорема де Рама о приводимых голономиях. Классификация Берже неприводимых голономий (без доказательства).
2. Комплексные эрмитовы многообразия. Кэлеровы многообразия. Связность Бисмута. Голономии кэлеровых многообразий. Теория Ходжа. Теорема Лефшеца.
3. Кривизна Риччи как кривизна канонического класса. Уравнение Эйнштейна и эйнштейновы многообразия. Многообразия Калаби-Яу. Теорема Калаби-Яу (без доказательства). Уравнение Монжа-Ампера, единственность метрики Калаби-Яу.
4. Алгебры Клиффорда, спиноры, оператор Дирака.
5. Формула Вейценбека. Теорема Бохнера-Лихнеровича. Применение к топологии многообразий Калаби-Яу.
6. Гиперкэлерова геометрия и голоморфная симплектическая геометрия.

Скорость изложения будет соизмеряться с подготовкой слушателей, то есть рассказано будет, видимо, не все из вышеперечисленного.