На главную страницу НМУ

А.Ю.Пирковский

Линейный функциональный анализ

Рекомендовано для студентов 3 курса

Цели

Предполагается рассказать об основных понятиях и теоремах линейного функционального анализа — точнее, теории банаховых пространств и ограниченных линейных операторов. По возможности будет подчеркиваться общекатегорный смысл вводимых понятий и доказываемых утверждений. Общая теория будет сопровождаться должным количеством конкретных примеров.

Требования к подготовке слушателей:

более чем достаточно знаний в объеме стандартных курсов матанализа и линейной алгебры. Желательно (хотя и не обязательно) некоторое знакомство с метрическими пространствами.

Примерная программа курса

0. Категории и функторы:

основные понятия и примеры.

1. Нормированные пространства и непрерывные линейные операторы.

Нормированные пространства. Базовые примеры: пространства последовательностей и непрерывных функций. Непрерывные линейные операторы. Непрерывность и ограниченность. Норма оператора и пространство линейных операторов. Примеры: диагональные операторы, операторы умножения, интегральные операторы, операторы сдвига. Категории Norm и Norm_1. Общие конструкции (подпространства, факторпространства, прямые суммы\dots)

2. Специфика бесконечномерного.

Конечномерные пространства: эквивалентность норм. Примеры неэквивалентных норм на бесконечномерных пространствах. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.

3. Полнота.

Полнота; банаховы пространства. Классические примеры банаховых пространств. Категории Ban и Ban_1. Пополнение и его категорный смысл. Топологически инъективные и открытые операторы. Теорема Банаха об обратном операторе, ее эквивалентные формулировки и следствия.

4. Линейные функционалы и двойственность.

Полунормы, теорема Хана-Банаха. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры сопряженных пространств. Каноническое вложение во второе сопряженное. Рефлексивность. Топология, определяемая системой полунорм. Примеры: пространства непрерывных, дифференцируемых и голоморфных функций. Слабая топология на нормированном пространстве и слабая* топология на его сопряженном. Аннуляторы; пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству. Банаховы комплексы. Связь точности банахова комплекса с точностью его сопряженного.

4. Интеграл Лебега:

краткое введение (по желанию слушателей). Пространства интегрируемых функций.

5. Гильбертовы пространства и операторы в них.

Скалярное произведение. Ортогональность, неравенство Бесселя, неравенство Коши-Буняковского, тождества параллелограмма и поляризации. Гильбертово пространство; примеры. Ортогональные разложения. Лемма Рисса (линейные функционалы на гильбертовом пространстве). Ортонормированные базисы. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Теорема Рисса-Фишера. Изоморфизм бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств. Тригонометрический базис в L^2(T). Ряды Фурье. Операторы в гильбертовом пространстве. (Эрмитово) сопряженный оператор. C^*-свойство операторной нормы. Ортогональные проекторы. Самосопряженные, нормальные и унитарные операторы; примеры. Унитарная эквивалентность.

6. Спектр оператора.

Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры. Открытость множества обратимых элементов. Непустота и компактность спектра. Части спектра оператора (точечный, непрерывный, остаточный и др.). Двойственность: спектр сопряженного оператора. Спектр самосопряженного и унитарного оператора. Вычисление спектра конкретных операторов.

6. Компактные и фредгольмовы операторы.

Общие свойства компактных операторов. Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы. Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса. Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора. Теорема Гильберта о диагонализации компактных самосопряженных операторов.

Возможные темы для дальнейших обсуждений
(при условии наличия времени и желания слушателей):

1. Тензорные произведения

банаховых пространств. Проективное и инъективное тензорное произведения. Примеры: проективное тензорное произведение на L^1-пространство и инъективное тензорное произведение на пространство непрерывных функций. Функториальные свойства. Формулы сопряженной ассоциативности. Связь с ядерными и интегральными операторами.

2. Топологические векторные пространства.

Локально выпуклые пространства. Полнота. Пространства Фреше. Двойственность. Различные топологии на сопряженном. Конструкции (произведения, суммы, пределы). Пространства Шварца и ядерные пространства.

3. Теплицевы операторы.

Пространства Харди. Функциональная модель оператора сдвига и описание его инвариантных подпространств. Теплицевы операторы и их спектральные свойства. Критерий фредгольмовости. Существенный спектр как множество значений символа. Топологическая интерпретация индекса теплицева оператора.

4. Основные сведения о банаховых алгебрах

 

5. Спектральная теорема

для нормального оператора.