Для случая многообразий важнейшие понятия алгебраической топологии наиболее просты и наглядны. (Например, второй класс Штифеля-Уитни замкнутого трехмерного многообразия есть Z2-гомологический класс объединения тех окружностей, на которых линейно зависимы некоторые два касательных векторных поля общего положения.) Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов.
Миникурс посвящен простому доказательству знаменитой теоремы Штифеля о параллелизуемости трехмерных многообразий. На спецкурсе изучаются основные методы алгебраической топологии (гомологии и характеристические классы) на примере применений к важным проблемам о векторных полях на многообразиях, возникшим в приложениях. Будут рассматриваться многообразия малых размерностей (т.е. не более чем четырехмерные): именно такие многообразия наиболее интересны для приложений.
Для участия в миникурсе (или спецкурсе) необходимы умение, желание и возможность решать задачи, а также первоначальное представление о векторных полях в объеме одной лекции первого семестра топологии в НМУ или соответствующего раздела одной из книг 'Наглядная топология' В. В. Прасолова (http://www.mccme.ru/prasolov) или В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича (http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm). Необходимые понятия алгебраической топологии для случая многообразий настолько просты, что изучить их с нуля проще, чем применить имеющиеся знания. Миникурс перерастет в спецкурс, если участники будут успешно решать задачи.
Первые три пункта — миникурс, следующие — возможное продолжение. Со звездочкой — если успеется.
1. Критерии Эйлера-Пуанкаре и Хопфа существования ненулевых касательных векторных полей.
2. Гомотопическая классификация ненулевых касательных векторных полей.
3. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости 3-многообразий.
4. Простейшие методы вычисления гомологий многообразий (по определению, гомологии пары и вырезание, точные последовательности).
5. Двойственность Пуанкаре.
6.* Реализация циклов подмногообразиями.
7. Существование ненулевого нормального векторного поля на гладкой сфере с ручками в $\R^4$.
8. Нормальные векторные поля. Класс Эйлера. Применения.
9. Препятствие Уитни к вложимости.
10.* Нормальные классы Уитни.
А. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения, Изд-во МЦНМО, в печати. http://dfgm.math.msu.su/files/skopenkov/obstruct2.ps
