А.Б.Скопенков

Введение в дифференциальную топологию

Материалы курса

[Записки.pdf (163K)|Записки.ps (346K)|Записки.zip(ps) (93K)]

Изучаются основные методы алгебраической топологии (гомологии, векторные расслоения и характеристические классы) на примере применений к геометрическим проблемам дифференциальной топологии (о векторных полях, диффеоморфизмах, погружениях и вложениях многообразий). Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наиболее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных результатов (будут построены два знаменитых примера: пример Милнора нестандартной 7-мерной сферы и пример Хефлигера нестандартного узла S³-->R⁶).

Предполагается знакомство слушателей с основами теорий многообразий и гомологий. Большая часть материала будет преподноситься в виде циклов задач (с подробными указаниями).

Программа курса

1. Три классические проблемы топологии. Две конструкции сферы Милнора. Заузленные сферы Хефлигера.
2. Пересечение в гомологиях многообразий. Двойственность Пуанкаре. Сигнатура.
3. Конструкция Понтрягина: оснащенные многообразия и их кобордизмы. Гомотопическая классификация отображений трехмерной сферы в двумерную. Теорема Понтрягина о гомотопической классификации векторных полей на ориентируемых 3-многообразиях.
4. Инвариантность сигнатуры при кобордизме. Аддитивность сигнатуры. Теорема Рохлина о сигнатуре и многообразие Рохлина. Числа Бернулли и обобщение Милнора-Кервера теоремы Рохлина.
5. Геометрическое определение характеристических классов.
6. Числа Штифеля-Уитни. Препятствие к кобордантности. Теорема Тома о классификации многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
7. Теорема Хирцебруха о сигнатуре для 4- и 8-мерных многообразий (формулировка). Применение: нестандартные семимерные сферы Милнора.
8.* Теорема о трубчатой окрестности. Нормальные расслоения.
9.* Нормальные классы Уитни. Инвариант Уитни вложений многообразий. Векторные расслоения. Теорема Смейла-Хирша о классификации погружений.
10.* Классификация гомотопических сфер. Решение проблемы Кервера (формулировка).