На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

Экзамен

[Экзаменационное задание.pdf]

Листки (Exercise sheets).pdf

[Листок 1.pdf|Листок 2.pdf|Листок 3.pdf|Листок 4.pdf]
[Листок 5.pdf|Листок 6.pdf|Листок 7.pdf|Листок 8.pdf]
[Листок 9.pdf|Листок 10.pdf]

Краткая программа курса

• Кривые в плоскости и в пространстве. Кривизна, кручение, репер Френе.

• Поверхности в трехмерном пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Главные кривизны, средняя и гауссова кривизна. Нормаль средней кривизны. Формула Эйлера для кривизны нормального сечения.

• Поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Связности в касательном и нормальном расслоениях к поверхности. Вторая квадратичная форма и оператор Вейнгартена. Деривационные уравнения Гаусса-Вейнгартена. Теорема Гаусса-Бонне для поверхностей.

• Векторные расслоения. Склеивающие коциклы. Структурная группа. Евклидовы и эрмитовы расслоения. Естественные операции с расслоениями. Ориентируемые расслоения.

• Связности в векторных расслоениях. Локальное задание связности: локальная форма связности, символы Кристоффеля. Кривизна. Связности в евклидовых и эрмитовых расслоениях. Связности, согласованные с метрикой и их кривизна.

• Связности в главных расслоениях.

• Римановы многообразия. Кручение, кривизна. Связность Леви-Чивиты. Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

• Римановы многообразия II. Геодезические. Геодезические координаты. Лагранжево описание геодезических. Вторая вариация.

• Подмногообразия римановых многообразий. Первая и вторая квадратичные формы.

• Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.

• Характеристические классы. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Классы Чженя, Понтрягина и Эйлера и их свойства. Характер Чженя и его свойства.

• Расслоения и их когомологии. Класс Тома. Конструкция класса Тома по Матаи-Квиллену. Связь класса Тома и класса Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне.