Алексей Викторович Пенской

Гармонические отображения

Гармонические отображения - отображение между римановыми многообразиями, являющиеся критическими точками функционала энергии. Гармонические отображения появляются в различных контекстах геометрии (в частности, гармоническими отображениями являются геодезические на римановых многообразиях и гармонические функции на римановых многообразиях), и представляют из себя красивый и весьма сложный объект, для изучения которых применяются методы дифференциальной и алгебраической геометрии, геометрического анализа, дифференциальных уравнений с частными производными и топологии.

Экзаменационное задание.pdf

Программа курса.

Функционал энергии, уравнения Эйлера-Лагранжа для него. Гармонические отображения, их простые свойства.
Совпадение гармоничности и минимальности для изометрических погружений.
Отображения поверхностей в римановы многообразия, случай сферы S^2.
Отображения поверхностей в поверхности, случай отображений S^2->S^2.
. Сводка результатов существования и регулярности.
Гармонические отображения S^2-S^n, теоремы Калаби и Барбосы.
Гармонические отображения S^2->S^4, S^2->S^6, теоремы Брайанта.
Гармонические отображения тора T^2.