На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Симметрические функции

Спецкурс для 2-4 курса, НМУ, весна 2018 г.

Программа курса

Симметрические многочлены. Кольцо симметрических функций. Базисы кольца симметрических функций: элементарные, полные, мономиальные симметрические функции, степенные суммы. Формулы перехода между базисами.
Функции Шура. Алгебраическое определение. Формула Якоби-Труди. Комбинаторное определение, его эквивалентность алгебраическому. Таблицы Юнга.
Приложения к комбинаторике: подсчет плоских разбиений, формула Макмагона.
Соответствие Ричардсона-Шенстеда-Кнута. Игра в пятнадцать (jeu de taquin).
Умножение функций Шура. Правило Пьери. Правило Литтлвуда-Ричардсона. Мозаики Кнутсона-Тао (*)
Симметрическая группа, ее кокстеровское представление. Порядок Брюа. Код Лемера и существенное множество перестановки.
«Частично симметрические» многочлены. Операторы разделенных разностей. Многочлены Шуберта.
Свойства многочленов Шуберта. Формула Монка, формула перехода Ласку.
Комбинаторное представление многочленов Шуберта. Pipe dreams. Положительность коэффициентов, теорема Кириллова-Формина.
Флаговые функции Шура, детерминантные формулы. Связь с многочленами Шуберта.
(*) Обобщения: двойные многочлены Шуберта, симметрические функции Стенли, многочлены Гротендика

Темы, отмеченные звездочкой, будут разобраны, если останется время.

Литература

У. Фултон. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М.: МЦНМО, 2006
Laurent Manivel. Fonctions sym'etriques, polynomes de Schubert et lieux de d'eg'en'erescence. Soci'et'e Math'ematique de France, 1998.
И. Макдональд. Симметрические функции и многочлены Холла. М.: Мир, 1984

Rambler's Top100