На главную страницу НМУ

Артемий Киселев

Деформации скобок Пуассона по Концевичу: комплекс графов и морфизм ориентации графов

Целевая аудитория: научные сотрудники, студенты и аспиранты, специализирующиеся в таких областях, как группы и алгебры Ли, пуассонова геометрия, квантовые группы, ассоциаторы Дринфельда, алгебры Хопфа, деформационное квантование, группа Гротендика-Тейхмюллера (либо интересующиеся этими вопросами).

Новые знания и навыки:

• умение находить коциклы в дифференциальной градуированной алгебре Ли неориентированных графов;
• умение строить симметрии классических скобок Пуассона, дифференциально-полиномиальные по компонентам скобки;
• умение факторизовать тождества, выполненные для любой скобки Пуассона в силу тождества Якоби и дифференциальных следствий из него;
• знакомство с классами "пробных" скобок Пуассона общего положения, содержащих функциональные параметры;
• знакомство с соответствием между пространством графов и пространством эндоморфизмов пространства мультивекторных полей;
• умение доказывать тождество Якоби для скобки Схоутена и скобки Ричардсона-Нийенхейса.

Темы лекций:

1. Структура дифференциальной градуированной алгебры Ли (dgLa) на векторном пространстве графов с внешним упорядочением рёбер. "Нулевые графы" = - (самим себе). Дифференциал, скобка Ли, тождество Якоби для скобки Ли. Определяющие свойства комплекса (тождества с нулевыми графами).
   * Примеры коциклов: тетраэдр, пятиугольное колесо + призма, (2n+1)-угольные колёса как маркеры коциклов из группы Гротендика-Тейхмюллера.
2. Ориентированные графы Концевича с маркировкой рёбер и упорядочением рёбер в вершинах. Пуассонов комплекс, пуассоновы когомологии.
   * Универсальные (по отношению к любым скобкам Пуассона на аффинных многообразиях) симметрии скобок Пуассона.
   * Лейбницевы графы. Некоммутативное *-умножение, ассоциатор. Задачи факторизации ассоциатора и факторизации условия коцикла в пуассоновом комплексе через якобиатор.
3. Морфизм ориентации графов: построение симметрии скобок Пуассона из коцикла.
   * Эндоморфизмы, скобка Схоутена (антискобка), её собственное тождество Якоби. Скобка Ричардсона-Нийенхейса, её собственное тождество Якоби. Мастер-уравнения.
   * Ребро-распорка (в конструкции дифференциала). Морфизм Or как соответствие ребра скобке Схоутена. Проверка свойства образа коцикла быть пуассоновым коциклом. Канонические и спонтанные решения задачи факторизации через якобиатор. Топологические тождества на пространствах лейбницевых графов.

Аннотация:
Векторное пространство неориентированных конечных графов с упорядочением на множестве рёбер наделено структурой дифференциальной градуированной алгебры Ли. В частности, действующий по правилу Лейбница дифференциал преобразует вершину в ребро, так что примыкавшие к ней рёбра распределяются всеми возможными способами между двумя концами вставленного ребра. Изоморфизм между одной из групп когомологий пространства графов и алгеброй Ли grt группы Гротендика--Тейхмюллера установлен Т.Вильвахером (Willwacher); он же вычислил для этой группы когомологий размерности подпространств, однородных по числу вершин и рёбер, вплоть до очень больших величин этих параметров. Явная структура отдельно взятого коцикла в комплексе графов в общем случае неизвестна; наследованные из grt коциклы, начинающиеся с (2k+1)-угольного колеса, нетривиальны и порождают свободную алгебру Ли (и неизвестно, порождают ли они так "всё" или нет).

В работе Ascona'1996 М.Концевич показал, что каждому коциклу в комплексе графов соответствует инфинитезимальная симметрия скобок Пуассона -- универсальная по отношению ко всем аффинным пуассоновым многообразиям. Именно, бивектор Q(P), коэффициенты которого суть дифференциальные полиномы от коэффициентов пуассонова бивектора P, удовлетворяет условию пуассонова коцикла [[P, Q(P)]] "=0" в силу тождества Якоби [[P,P]]=0 (здесь [[-,-]] -- скобка Схоутена). Несколько явных примеров таких универсальных симметрий Q(P) впервые вычислены докладчиком и соавторами в 2016-18 гг. Задача факторизации условия коцикла через якобиатор [[P,P]] является в общем случае очень тяжёлой; экспериментально установлено, что её решение не обязательно единственно.

Цель курса лекций -- дать элементарное доказательство того, что коциклам в комплексе графов соответствуют симметрии скобок Пуассона (обратное неверно и неизвестно, насколько велик зазор) и, во-вторых, объяснить, как именно работает механизм факторизации, гарантирующий, что коцикл-граф переходит в пуассонов коцикл.

Литература:

Изложение следует плану IMPRS-курса в Математическом институте им. Макса Планка:
https://www.mpim-bonn.mpg.de/node/9040