Александр Исаакович Эстеров

Многогранники и выпуклая геометрия

Лекции читаются онлайн по воскресеньям 15:30-17:00. Начало 18 февраля.

Мы изучим геометрические и алгебраические аспекты выпуклой геометрии и узнаем, почему многогранники и свойства выпуклости оказывается важны в самых разных областях, от комбинаторики до теории чисел. Чтобы увидеть панораму в целом, мы не будем углубляться в отдельные важнейшие разделы, такие как группы отражений, тропическая геометрия или линейное программирование, каждый из которых требует отдельного курса.

Пререквизиты: начальные курсы алгебры и геометрии, представление о топологии R^n.

Программа курса

Аффинное пространство, выпуклые тела и оболочки
Конусы, опорные плоскости, отделимость
Многогранники, грани, полярная двойственность
Аддитивные меры: объем, смешанный объем, эйлерова характеристика
Целочисленные многогранники: полином Эрхарта, геометрия чисел Минковского
Обзор: что дальше

Учебники:

Первое представление о предмете можно составить по ёмким, но сжатым русскоязычным введениям (1-4). В более доступной и развернутой форме материал изложен в англоязычных учебниках (5-8).

А. Л. Городенцев, «Геометрия», лекции 8-9, http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/1617/list.html «Линейная алгебра и геометрия», тема 12, http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/geom_ru/2122/list.html
Т. Е. Панов, «Геометрия», глава 5, http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/panov-geometry.pdf
В. М. Тихомиров, «Выпуклый анализ и его приложения», https://www.mccme.ru/free-books/dubna/tich.pdf
В. А. Тиморин, «Комбинаторика выпуклых многогранников», https://www.mccme.ru/free-books/dubna/timorin.pdf
A. Brondsted, «An Introduction to Convex Polytopes», https://books.google.ru/books?id=7PXxBwAAQBAJ&printsec=frontcover
C. Haase, B. Nill, A. Paffenholz, «Lecture Notes on Lattice Polytopes», https://polymake.org/polytopes/paffenholz/data/preprints/ln_lattice_polytopes.pdf
M. Beck, S. Robins, «Computing the Continuous Discretely» http://math.sfsu.edu/beck/papers/noprint.pdf
G. Ziegler, «Lectures on Polytopes», https://books.google.ru/books?id=xd25TXSSUcgC&printsec=frontcover