А.Л.Городенцев

Коммутативная и гомологическая алгебра (осень 1995)

Программа курса

Предполагаемая подготовка слушателей: владение стандартными двух-трех семестровыми университетскими курсами алгебры, геометрии и анализа. Очень желателен опыт практичесих вычислений с тензорами, полилинейными дифференциальными формами, представлениями групп, функциями комплексного переменного, проективными пространствами.

Идеаы в кольцах многочленов -- начальные сведения.

Задание идеалов образующими.
Характеризация Нетеровых колец.
Теорема Гильберта о базисе.
Общие нули идеала.
Теорема Гильберта о нулях.
Нули однородных идеалов.

Геометрический язык: алгебраические многообразия.

Алгебраические подмножества в аффинном и проективном пространстве.
Общая концепция многообразия.
Максимальный спектр и топология Зарисского.
Структурный пучок и морфизмы многообразий.
Простой спектр и схемы.
Геометрическая интерпретация свойств гомомрфизмов колец.

Целые элементы и нормализация.

Алгебраические целые числа.
Характеризация целых элементов в расширениях колец.
Алгебраический пример: лемма Гаусса-Дедекинда.
Геометрический пример: конечные морфизмы.
Нетерова нормализация.
Еще раз о der Nullstellenzatz

Категорные свойства модулей.

Задание модулей образующими и соотношениями.
Точные последовательности и диаграмный поиск.
Функторы "hom" и "тензорное произведение".
Двойственность Фробениуса.
Проективные, плоские и инъективные модули.
Резольвенты.

Категории и функторы.

Категорная фразеология.
Естественные конструкции.
Представимые функторы.
Сопряженные функторы.
Суммы и произведения.
Линейность, аддитивность, абелевость (беглый обзор).
Точные последовательности, комплексы, (ко)гомологии.
Эйлерова характеристика.
Группа Гротендика.

Классические производные функторы.

Свойство точности функтора.
Канонические резольвенты и производные функторы.
Аксиоматизация свойств производных функторов.
Функторы Ext и Tor, простейшие примеры их явного вычисления и интерпретации.
Вычисление производных функторов при помощи неканонических ациклических резольвент: резольвента Картана-Эйленберга.
Бар-резольвента.
Резольвента Кошуля.

Вычисление производных функторов.

Как вычислять композицию производных функторов.
Спектральные последовательности, точные пары и фильтрованные комплексы.
Пример: глупая и каноническая фильтрации комплекса.
Свертка бикомплекса.
Тензорные произведения комплексов и симметричность Tor'ов
Теорема Гильберта о сизигиях.
Еще один пример: квадратичные алгебры и S-Lambda двойственность.

Когомологии пучков.

Общая концепция пучка на многообразии.
Фактор-пучки, прямые и обратные образы пучков.
$H^i({\cal F})$ и резольвента Чеха.
Когомологии с постоянными коэффициентами и теорема Де-Рама.
Высшие прямые образы и спектральная последовательность Лере.

Пучки модулей на алгебраических (аналитических) многообразиях.

локальная свобода, когерентность и квазикогерентность.
Функторы Ext, интерпретация Ext^1 в контексте расслоений.
Ацикличность аффинных многообразий в топологии Зарисского.
(Квази)когерентные пучки на проективном пространстве.
Локально-свободные резольвенты и теорема Серра.
K_0 от проективного пространства.

Категория когерентных пучков на проективном пространстве.

Точная последовательность Эйлера и ее внешние степени.
Когомологии пучков \Omega^k(n).
Резольвента диагонали и теорема Бейлинсона.
Вычисление Ext'ов и двойственность Серра.
Когерентные пучки на проективной прямой и модули Кронекера.
Кое-что об общей проблеме описания модулей когерентных пучков.

Еще раз об образующих градуированных идеалов.

Первый сюжет: результанты и детерминанты.
Результант системы n однородных форм.
Обобщенно-кратные корни и обобщенные детерминанты.
Второй сюжет: описание идеалов проективных кривых.
Гипотеза Грина об образующих идеала канонической кривой.

Курс рассчитан на один семестр, 2 часа лекций и 2 часа упражнений в неделю.

Пожелание участникам. Утилитарной целью всей алгебры, а в особенности гомологической алгебры, является производство сложных вычислений таким способом, чтобы они были локально-тривиальны. Поетому в процессе обучения приходится осваивать длинные линейно-упорядоченные куски стандартных рассуждений, и сделать это можно единственным способом --- самому в одиночку. Цель лекций --- объяснить как из этих больших плоских кусков составляются нетривиальные объемные сооружения (как правило, завораживающие неопытный посторонний взгляд красотой и величием). Цель упражнений --- приучить ко всему остальному, а в особенности, --- к умению быстро и грамотно выдать необходимое строгое рассуждение, доказывающее тот или иной ``стандартный'' факт.

Задача-шутка: В тексте программы слово модуль использовалось для обозначения трех совершенно разных понятий (два из которых, впрочем, могут быть приведены в соответствие друг с другом); заметили ли Вы это?