На главную страницу НМУ
Сусумо Танабе
Введение в теорию гипергеометрических функций
Цель настоящего курса заключается в том, чтобы представить классическую
теорию ГГФ, разработанную в основном в XIX веке, как можно привлекательнее
для современной математической молодежи. То есть, показать ей, что старые
теоремы не устарели, a от них ожидается естестевенные обобщение и
углубление по
внутриматематическому закону развития, как это случалось с теоремой
Шварца об
алгебраичности гауссовой ГГФ (1872), чье обобщение для поххаммеровой ГГФ
появилось в 1989. Помимо основного курса с доказательством утверждений,
попутно намереваюсь рассказывать исторические ходы
эволюции теории начиная с Эйлера (Institutio calculi integralis 1768, СПб)
до сегодняшнего дня так, чтобы у слушателей образовалось хотя бы
приблизительное представление о роли той или иной классической теоремы
в современном математическом контексте.
Программа курса
- Обзор сведений о гипергеометрической функции (ГГФ) Гаусса
Гипергеометрический ряд.
Эйлерово интегральное представление.
Вычисление группы монодромии по методу Пикара.
Вывод гипергеометрического уравнения с помощью теоремы Стокса.
Интеградьное представление Меллина-Бэрнса.
Задача Римана (-Гильберта) для уравнения второго порядка.
Теорема Шварца об алгебраичности гауссовой ГГФ.
24 представления ГГФ по Куммеру.
Вронскиан ГГФ.
- ГГФ Поххаммера $_nF_{n-1}(\alpha_1, \cdots, \alpha_n;\beta_1,\cdots,
\beta_{n-1}|z)$
Теорема Левельта о группе монодромии.
Гипергеометрическая группа и ее квадратичные инварианты.
Теорема Beukers-Heckman об алгебраичности ГГФ Поххаммера.
- ГГФ многих переменных
Когомология де Рама и вывод системы уравнения Пикара-Фукса.
Связность Гаусса-Манина.
Система уравнений Horn'а.
Теорема Ore-Sato о разрешимости разностных уравнений.
Матрица пересечений базиса гомологии.
Группа монодромии ГГФ Lauricella $F_D(z)$.
- Применения ГГФ к различным задачам
Ходжева структура интегралов по расслоению Милнора отображения
с изолированной особенностью (E.Brieskorn, F.Pham).
Дискриминант алгебраического уравнения (Hj.Mellin) .
c. Число нулей гауссовой ГГФ (в связи с XVIой проблемой Гильберта).
(Иссдедования F.Klein, F.Hurwitz и других)
