На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман (Yu.Burman)

Симметрические степени (Symmetric powers)

Lecture notes

Postscript

[Лекция 1 (82K)|Лекция 2 (102K)|Лекция 3 (102K)|Лекция 4 (102K)
Лекция 5 (108K)|Лекция 6 (108K)|Лекция 7 (93K)|Лекция 8 (83K)
Лекция 9 (87K)|Задачи и темы для самост. изучения (28K)
Лекция 10 (85K)|Лекция 11 (72K)|Лекция 12 (75K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (28K)|Лекция 2 (33K)|Лекция 3 (33K)|Лекция 4 (33K)
Лекция 5 (34K)|Лекция 6 (36K)|Лекция 7 (32K)|Лекция 8 (28K)
Лекция 9 (29K)|Задачи и темы для самост. изучения (11K)
Лекция 10 (29K)|Лекция 11 (26K)|Лекция 12 (27K)]

N-й симметрической степенью пространства X называется множество неупорядоченных наборов N точек из X, не обязательно различных. Скажем, симметрический квадрат прямой это полуплоскость, а симметрический квадрат сферы — CP2.

Симметрические степени и связанные с ними объекты (схемы Гильберта точек) практически любых пространств обладают богатой и интересной геометрией, о которой и будет отчасти рассказано в курсе. Чаще всего мы будем разбирать случай, когда X — гладкое комплексное многообразие.

Предполагается, что слушатели знают, что такое сингулярные когомологии, идеал в кольце многочленов и жорданова нормальная форма. По ходу изложения будут предложены задачи, в т.ч. нерешенные (материал второй половины курса достаточно новый — многим утверждениям не больше 10 лет, — так что таких задач много).

Примерная программа курса

  1. Элементарные примеры: симметрические степени кривых.
    1. Гладкость.
    2. Примеры: сфера, сфера с проколами, эллиптическая кривая.
  2. Локальная алгебра.
    1. Определение и подготовительная теорема Вейерштрасса.
    2. Степень отображения равна размерности локальной алгебры. Применение к отображению факторизации f: Xn -> X(n).
  3. Формула Макдональда для когомологий.
  4. Разрешение особенностей симметрической степени поверхности.
    1. Схема Гильберта и морфизм Чжоу. Явное описание схемы Гильберта точек на C2 ("данные Атия--Дринфельда--Хитчина--Манина").
    2. Гладкость схемы Гильберта (теорема Фогарти).
  5. Когомологии схемы Гильберта точек на поверхности.
    1. Формула Геттше для чисел Бетти схемы Гильберта (б/док).
    2. Действие алгебры Гейзенберга на когомологиях (операторы Накаджимы).
    3. Пространство Фока.
Rambler's Top100