На главную страницу НМУ

С.Ю.Шорина

Интегрируемые уравнения и многомерные P-функции

• Уравнения, для решения и исследования которых будет применяться техника, развитая в спецкурсе
  • Уравнение Ламе
  • Уравнение Теплопроводности
  • Уравнение Шредингера
  • Иерархия КдФ, иерархия КП
• Лемма Бурхнала-Чаунди. N-алгебраические дифференциальные операторы, алгебраическое соотношение между ними, существование общей собственной функции семейства N-алгебраических операторов.
• Стационарное уравнение КдФ как условие существования оператора третьего порядка, коммутирующего с оператором Шредингера. Соотношение между этими операторами, их общие собственные функции и спектральная кривая.
• P-функция Вейерштрасса. Уравнения, связывающие P-функцию и ее производные: параметризация кубической кривой, уравнение КдФ. Единственность P-функции. Теорема сложения, ее геометрическая интерпретация.
• Многомерный случай. Высшие стационарные уравнения КдФ как условие существования семейства многомерных дифференциальных коммутирующих операторов третьего порядка, коммутирующих с оператором Шредингера. Соотношения между операторами этого семейства, их общие собственные функции и спектральное многообразие, соотношение однородности.
• Метод производящих функций и операторы обобщенного сдвига, их применение для исследования полученных соотношений.
• Построение гиперэллиптической кривой, ассоциированной с изучаемым семейством операторов. Спектральное многообразие как расслоение над гиперэллиптической кривой.
• Различные определения якобиана гиперэллиптической кривой. Дифференциалы на гиперэллиптической кривой. Прямое и обратное отображения Абеля. Динамическая система на якобиане, соответствующая иерархии КдФ при отображении Абеля.
• Фундаментатьная производящая функция решения стационарного уравнения КдФ, w-, сигма- и тэта-функции, соотношения между ними.
• Размерности 2 и 3. Соотношения между P-функциями рода 2 и 3. Уравнение КП.
• Зависимость сигма-функции от коэффициентов кривой. Линейные операторы, аннулирующиее сигма-функцию. Теоремы сложения для гиперэллиптических функций.
• Функция Бейкера-Ахиезера, ее связь с общей собственной функцией коммутирующих дифференциальных операторов. Уравнение Ламе.
• Рациональные пределы P-функций. Отображение Абеля в рациональном случае. Полиномы Шура-Вейерштрасса и полиномы Адлера-Мозера.
• Иерархия КдФ как гамильтонова система при различные симплектических структурах. Семейство коммутирующих гамильтоновых систем, совместное решение которых фыражается через P-функции. Производящая функция для гамильтонианов.
• (n,s)-кривые. Случай тригональной кривой: якобиан, отображение Абеля, тиригональные P-функции. Дифференциальные уравнения, интегрируемые в тригональных P-функциях.