Одним из важных продвижений современной теории гомотопий является построение коммутативного кольцевого (или, более точно, E-бесконечность) спектра tmf, который связывает некоторые сюжеты из теории чисел и алгебраической топологии. Одна из конструкций tmf реализует его как глобальные сечения структурного пучка производного стэка модулей кривых рода 1. Кольцо гомотопических групп tmf называется топологическими модулярными формами и является некоторой поправкой кольца обыкновенных модулярных форм, полезной, например, при рассмотрении рода Виттена гладкого многообразия с дополнительными структурами.
При конструкции tmf используется большое количество полезных сюжетов, которые мы планируем изучить: стэк формальных групп, элементы стабильной теории гомотопий и производной алгебраической геометрии, производная теория деформаций и т.п. После мы попробуем понять связь tmf с кольцом обыкновенных модулярных форм, рассмотрим несколько приложений к задачам дифференциальной геометрии, топологии и теории чисел.
Вот примерный список тем, которые планируется разобрать на семинаре:
1. Эллиптические кривые, модулярные формы, стэк эллиптических кривых.
2. Формальные групповые законы, высота, теорема Лазарда, стек формальных групповых законов.
3. MU, теорема Квиллена, критерий Ландвебера.
4. E-бесконечность кольца, теория препятствий Гоерса-Хопкинса.
5. Конструкция tmf (теорема Хопкинса-Миллера-Лури).
6. Спектральная последовательность спуска, π*(tmf).
7. Эллиптические когомологии, род Виттена.
8. π*(tmf) и Тета-ряды.
9,10,... В зависимости от интересов и пожеланий участников.