- Частично упорядоченные множества.
1.1. Формула обращения Мебиуса.
1.2. Суммирование по подграфам: многочлен Поттса и задача о случайных
кластерах (статсумма Фортюэна--Кастелейна).
1.3. Специализации многочлена Поттса: задача о протекании, перечисление
подграфов и другие.
1.3. Инварианты графов: многочлен Татта.
1.4. Обобщение на ориентированные графы: многочлен Бернарди.
- Формула Коши--Бине и ее обобщения.
2.1. Формула Коши--Бине как дискретный аналог интегрирования по путям.
2.2. Соотношения Плюккера и дискретное интегрирование в кососимметрическом
случае.
2.3. Приложения: матричная теорема о деревьях, ее аналог для пфаффиана
(формула Масбаума--Вайнтроба) и для групп серии D, и другие.
- Матричная теорема о деревьях.
3.1. Доказательства: с помощью многочлена Татта, с помощью дискретного
интегрирования по путям и другие.
3.2. Обобщения: на произвольные миноры, на ориентированные графы и другие.
3.3. (если останется время) Матричная теорема о деревьях произвольной степени.
- (если останется время) Целые точки в многогранниках.
4.1. Подсчет целых точек в многограннике: многочлен Эрарта.
4.2. Целые точки в многограннике и на его границе: двойственность
Эрарта--Макдональда.
4.3. Суммы по целым точкам многогранника: теорема Бриона.
Курс предназначен для студентов любого возраста и опыта, знающих элементарную
линейную алгебру (пространства, базисы, определители).
