На главную страницу НМУ

Петр Евгеньевич Пушкарь

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Примерная программа курса:

Теоретическая часть:
  1. Основные герои: Векторные поля, поля направлений, фазовое пространство, фа-зовый поток, расширенное фазовое пространство, фазовые и интегральные траекто-рии. Дифференцирование вдоль векторного поля. Первые интегралы.

  2. Основные теоремы - о выпрямлении векторного поля, существования и един-ственности решения, непрерывной и дифференцируемой зависимости от параметра. Продолжаемость решения.

  3. Теория линейных уравнений и систем, квазимногочлены.

  4. Линеаризация векторного поля. Уравнение в вариациях.

  5. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка счастными производными.

  6. Симметрии и коммутирующие векторные поля.

  7. Устойчивость. Функция Ляпунова. Критерий устойчивости.
Семинары:
Существенная тяжесть курса ляжет на семинары и листочки - в которых будемрассматривать следующие темы/сюжеты:
Основные примеры. Векторные поля на прямой. Уравнения с разделяющимися пе-ременными. Система Лотка-Вольтерра. Консервативная система с одной степеньюсвободы. Фазовые портреты векторных полей на плоскости, особые точки. УравнениеКлеро. Векторные поля и раздутие. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Предельные цик-лы - монодромия, отображение Пуанкаре, устойчивость. Гамильтоновы поля, рожде-ние предельных циклов. Простейшие бифуркации. Векторные поля на многообразиях.Уравнение Рикатти. Индекс векторного поля.