На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Анализ на многообразиях

Читается очно (и дистанционно) по четвергам, начиная с 10 сентября (17:30, ауд.401).

Листки

Для дистанционной сдачи решённых задач присылайте решения Никите Клемятину на почту:
nklemyatin AT yandex.ru

[ Листок 1 | Листок 2 | Листок 3 ]

Программа курса

  1. Векторные (линейные) и аффинные пространства. Базис, репер, аффинные координаты и аффинные замены координат. Криволи- нейные координаты. Замены криволинейных координат и диффео- морфизмы области аффинного пространства. Функции и их запись геометрами в координатах. Векторы как дифференцирования функций. Векторные поля. Запись векторов и векторных полей в криволинейных координатах. Преобразование координат векторов и векторных полей при замене координат. Коммутатор векторных полей. Отображения областей аффинного пространства. Обратный образ функции при отображении. Дифференциал отображения.

  2. Двойственное векторное пространство, двойственный (дуальный) базис, пространство кососимметрических полилинейных функций и базис в нём. Дифференциальные формы. Дифференциал функции как 1-форма. Внешнее умножение форм. Внешний дифференциал форм. Векторнозначные и матричнозначные формы.

  3. Регулярные параметрические кривые и k-мерные поверхности в аффинных пространствах. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции. Неявный способ задания поверхностей. Касательные векторы, касательное про- странство. Геометрический смысл условия регулярности. Кривые на поверхности. Гладкие функции и отображения поверхностей. Производная вдоль касательного вектора функций и векторных полей, заданных на поверхности.

  4. Гладкие регулярные кривые в n-мерном евклидовом пространстве. Натуральный параметр, его существование и свойства. Кривизна кривой в евклидовом пространстве. Базис Френе, репер Френе и формулы Френе для плоской кривой. Случай трёхмерного ориентированного евклидова пространства: базис и репер Френе, кручение, формулы Френе. Случай ориентированного евклидова пространства произвольной размерности: построение базиса Френе, формулы Френе, высшие кручения. Восстановление кривой по кри- визне и высшим кривизнам с точностью до движения пространства.

  5. Гладкие регулярные двумерные поверхности в трёхмерном евкли- довом пространстве. Поле нормалей к двумерной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная и геодезиче- ская кривизна кривой, лежащей на двумерной поверхности в трёх- мерном евклидовом пространстве. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Формулы для нормальной кривизны кривой через первую и вторую квадратичные формы. Главные кривизны, главные направления, гауссова и средняя кривизна. Формулы для гауссовой и средней кривизны. Нормальная кривизна со знаком (ориентированная нормальная кривизна) и формула Эйлера. Гео- метрический смысл главных кривизн и главных направлений.

  6. Случай k-мерной поверхности в n-мерном евклидовом простран- стве. Касательное и нормальное пространство в точке к k-мерной поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Поле ортого- нальных проекторов на касательные пространства. Деривационная формула Гаусса. Вторая квадратичная форма и ковариантная про- изводная касательного векторного поля и их свойства. Деривацион- ная формула Вейнгартена. Оператор Вейнгартена и ковариантная производная нормального векторого поля и их свойства. Запись связностей, второй квадратичной формы и оператора Вейнгартена в координатах. Формулы Френе как частный случай дериваци- онных формул Гаусса-Вейнгартена. Формулы для нахождения символов Кристоффеля по метрике.

  7. Вычисление геодезической кривизны лежащей на поверхности кривой через связность, нормальной кривизны лежащей на поверх- ности кривой через вторую квадратичную форму. Формула Гаусса. Theorema egregium Гаусса. Понятие внутренней геометрии.

  8. Параллельный перенос. Сохранение параллельным переносом длин векторов и углов между векторами. Оператор параллельного по- ворота. Угол поворота при параллельном переносе вдоль границы области. Геодезические. Теорема Гаусса-Бонне.

  9. Карты, атласы, гладкие структуры, гладкие многообразия. Топо- логические аксиомы: хаусдорфовость и вторая аксиома счётности. Гладкие функции. Отображения многообразий. Обратный образ функций при отображении. Касательные векторы и дифференциа- лы отображений. Запись в координатах, преобразование функций и координат векторов при замене координат. Касательное и кокасательное пространство к многообразию в точке. Касательное и кокасательное расслоение.

  10. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожден- ная векторным полем. Тензорные поля, дифференциальные фор- мы. Внешнее умножение и его свойства, алгебра дифференциаль- ных форм на многообразии. Внешний дифференциал, контракция (внутреннее умножение) с векторным полем, производная Ли. Тождество Картана и другие тождества.

  11. Риманова метрика, форма объёма. Ориентация многообразия. Разбиение единицы. Интегрирование форм на многообразиях. Объём ориентированного многообразия.

  12. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь внешнего дифференциала с гра- диентом, ротором и дивергенцией. Связь теоремы Стокса из анализа на многообразиях с формулами Грина, Стокса и Гаусса- Остроградского в математическом анализе. Операция Ходжа.

  13. Интегрирование плотностей в неориентируемом случае. Погруже- ния, вложения, подмногообразия.

  14. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носите- лем. Лемма Пуанкаре. Обратный образ когомологических классов при отображении. Гомотопные отображения. Независимость обрат- ного образа когомологического класса при гомотопии отображения.

  15. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса. Принцип Майера-Виеториса. Свойства когомологий де Рама на многообра- зиях с покрытием Лерэ.