На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Спектральная геометрия

Спецкурс рекомендован для 3 и старше.

Лекции

Лекции читаются дистанционно по вторникам с 17:30 в Zoom.
Для получения ссылки на конференцию необходимо написать письмо лектору (alexei ТОЧКА penskoi AT gmail ТОЧКА com).

Видеозаписи лекций курса

О курсе

Спектральная геометрия - современная и интенсивно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и анализа, которая изучает связь между геометрией области с одной стороны и спектром оператора Лапласа и собственными функциями оператора Лапласа с другой стороны.

По-видимому, первым вопросом спектральной геометрии был заданный лордом Рэлеем в его знаменитой книге "Теория звука" вопрос о том, какой должна быть форма мембраны барабана, чтобы среди мембран той же площади она издавала звук самой низкой частоты. Во второй половине двадцатого века Марк Кац сформулировал другой известный вопрос: "Можно ли услышать форму барабана?". Ответы на этот и другие вопросы мы обсудим в данном курсе, а что еще более интересно - узнаем еще больше вопросов, на которые мы еще не знаем ответа.

Программа курса:

  1. Оператор Лапласа в евклидовом пространстве, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.

  2. Метод разделения переменных, спектр простейших областей.

  3. Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа и простые следствия из него.

  4. Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.

  5. Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.

  6. Доказательство Филонова неравенства Фридландера. Другие неравенства.

  7. Теорема Берса. Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия. Теоремы Плейеля и Брюнинга. Нодальная топология.

  8. Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.

  9. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановом многообразии. Связь собственных функций с минимальными поверхностями (теорема Такахаси).

  10. Геометрическая оптимизация собственных чисел на поверхностях. Экстремальные метрики. Связь экстремальных метрик с минимальными поверхностями (теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса).

  11. Теорема Херша. Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на конкретных поверхностях.

  12. Экстремальные метрики в конформном классе, связь с гармоническими отображениями.

  13. Задача Стеклова на поверхностях, связь с минимальными поверхностями в шаре.

  14. Магнитный лапласиан.