На главную страницу НМУ

Григорий Папаянов

Топология и дифференциальные формы

Лекции читаются очно по средам, начиная с 7 сентября, в 17:30 в аудитории 303 и транслируются на YouTube.

[ листок 1 | листок 2 | листок 3 ]

Программа курса

В этом курсе мы рассмотрим, как аппарат математического анализа --- конкретно, дифференциальные формы --- позволяет изучать вопросы алгебраической топологии гладких многообразий. Оказывается что аналитический подход, в своих границах применимости, часто оказывается значительно проще стандартного в силу свойств дифференциальных форм. Например, из теоремы де Рама о том, что когомологии де Рама изоморфны сингулярным, коммутативное умножение на когомологиях получается забесплатно. Я объясню, как на языке дифференциальных форм выглядят некоторые топологические конструкции, в частности, спектральная последовательность расслоения, башня Постникова и гомотопический фактор по действию группы.

Примерная программа:

  1. Что дифференциальные формы знают про когомологии: Введение в гомологическую алгебру. Производные функторы. Пучки и их когомологии. Бикомплексы и спектральные последовательности. Теорема де Рама об изоморфизме когомологий де Рама и сингулярных когомологий.

  2. Что дифференциальные формы знают про гомотопические группы: Минимальные модели Сулливана. Операции Масси. Формальность. Теория Ходжа. Кэлеровы многообразия формальны. Нильмногообразия неформальны.

  3. Как с помощью дифференциальных форм описывать факторы действий групп на многообразиях: Эквивариантные когомологии. Модель Вейля и модель Картана. Характеристические классы: Теория Черна-Саймонса и теория Черна-Вейля. Эквивариантные характеристические классы. Теорема локализации: вычисление интегралов вида $exp(tF)dVol$.

  4. *. Разное другое. Если останется время, предлагается изучить некоторые вопросы о топологии плоских многообразий (то есть многообразий, снабжённых плоской связностью без кручения). Либо что-нибудь ещё по желанию слушателей.
Курс рассчитан на студентов, близко знакомых с курсом анализа на многообразиях --- расслоениями, их тензорными произведениями, дифференциальными формами, оператором внешнего дифференцирования, производной Ли, формулой гомотопии Картана, леммой Пуанкаре. Знание алгебраической топологии (сингулярных когомологий и гомотопических групп), строго говоря, не обязательно, но с ним будет интереснее. Ближе к второй половине семестра понадобятся начальные знания из теории групп и алгебр Ли, но все необходимые определения я дам.

Список литературы:

Рауль Ботт, Лоринг Ту, "Дифференциальные формы в алгебраической топологии",
Филипп Гриффитс, Джон Морган, "Рациональная теория гомотопий и дифференциальные формы",
Victor Guillemin, Shlomo Sternberg, "Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory".

У курса есть чат для обсуждения задач и огранизационных вопросов: https://discord.gg/7jKHBTdrbH