На главную страницу НМУ

В.К.Белошапка

Комплексный анализ (3-4 семестр, обязательный курс)

Материалы семинаров и задачи к экзамену (Exercises and exam problems)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Семинары (135K) (Exercises)|Экзамен (27K) (Exam)]

Запакованные zip-ом postscript-файлы (Zipped postscript)

[Семинары (44K) (Exercises)|Экзамен (12K) (Exam)]

Дробно-линейные преобразования сферы Римана и элементарные функции:

Комплексная плоскость и ее компактификация (стереографическая проекция, проективная прямая ${\bf CP}^1$). Дробно-линейные преобразования (матричное представление, групповая структура, сохранение ангармонического отношения, круговое свойство, конформность, сохранение симметрии, действие на тройках точек, связь с проективными преобразованиями, автоморфизмы круга и полуплоскости). Элементарные функции комплексного переменного: экспонента, логарифм, тригонометрические и им обратные, степенная, Жуковского.

$R$ и $C$-дифференцируемость функций и отображений одного и нескольких комплексных переменных

Запись дифференциала в комплексной форме, уравнения Коши-Римана, связь между комплексным и вещественным якобианами, теоремы об обратной и неявной функциями.

Интегрирование функций комплексного переменного:

Интегрирование 1-форм $Pdx+Qdy$, интеграл вида $\int_{\gamma}fdz$, формула Ньютона-Лейбница и ее следствия, интегральная теорема Коши, теорема о первообразной, интегралы по гомотопным кривым, интегральная формула Коши.

Степенные ряды

Степенные ряды: лемма Абеля, формула Коши-Адамара, разложение ${\bf C}$-дифференцируемой функции в степенной ряд. Степенные ряды от нескольких переменных (область сходимости, сопряженные радиусы сходимости, теорема о логарифмической выпуклости).

Голоморфные функции и их свойства:

Четыре эквивалентных определения голоморфной функции, кольцо голоморфных функций $\mathcal O(D)$, сходимость и топология в $\mathcal O(D)$, теорема Вейерштрасса о сходящейся последовательности. Действия со сходящимися степенными рядами. Бесконечная дифференцируемость, представимость рядом Тейлора, теорема единственности (четыре формулировки), кратность нуля, неравенства Коши, теорема Лиувилля, принцип максимума.

Изолированные особые точки голоморфной функции

Ряды Лорана, кольцо сходимости, разложение функции голоморфной в кольце, его единственность, неравенства Коши, классификация изолированных особых точек, особые точки на многообразии, мероморфные функции на $\overline {\bf C}$, $\infty$ как особая точка. Формулировка теорем Пикара.

Вычеты и их применения

Теорема о вычетах, вычисление интегралов и суммирование рядов, принцип аргумента, теорема Руше, теорема Гурвица, принцип открытости.

Аналитическое продолжение и римановы поверхности

Продолжение ростка вдоль кривой, теорема о монодромии, полная аналитическая функция, выделение однозначной ветви, риманова поверхность полной аналитической функции, классификация изолированных особых точек многозначной функции, ряды Пюизо.

Конформные отображения

Конформность в точке и области, связь с голоморфностью, лемма Шварца, автоморфизмы круга, плоскости и сферы, принцип симметрии. Формулировки теоремы Римана и теоремы о соответствии границ, способы нормировки отображения.

Темы практических занятий в 3 семестре


Rambler's Top100