На главную страницу НМУ

Л.Е.Посицельский

Группы Галуа

Целью спецкурса является доказательство ряда классических теорем: построение многоугольников циркулем и линейкой, неразрешимость уравнений 5-й степени в радикалах, абелевы расширения поля Q, разрешимость групп Галуа p-адических полей, отдельные результаты обратной задачи теории Галуа.

Предварительные сведения: предполагается знакомство с началами алгебры, геометрии и анализа в объеме, условно говоря, 1-го семестра 1-го курса: группы, кольца, векторные пространства, топологические и метрические пространства, многообразия, фундаментальная группа и накрытия, и т.п. Минимальное знакомство с комплексным анализом, вероятно, потребуется в самом конце курса.

Программа курса

1. Расширения полей: степень расширения, алгебраические расширения. Присоединение корня неприводимого многочлена. Построения циркулем и линейкой. Корни из 1.
2. Поле разложения многочлена; единственность. Вложения алгебраических расширений. Алгебраическое замыкание. Конечные поля.
3. Сепарабельность. Нормальность. Норма и след.
4. Основная теорема теории Галуа. Циклические расширения. Разрешимость. Кубические уравнения. Круговые расширения.
5. Уравнения степени 4 и 5. Существование многочленов с группой S_n. Проконечные группы.
6. Поля степенных рядов. P-адические поля и их расширения. Лемма Гензеля. Ветвление. Группы ветвления.
7. Геометрическая аналогия. Дискриминант. Разложение. Целое замыкание. Квадратичные поля. Гауссовы суммы.
8. Теорема Кронекера-Вебера. Гипотеза Шафаревича.
9. Обратная задача теории Галуа. Римановы поверхности; теорема существования. Группа Галуа поля C(x). Жесткость. PSL_2(F_p) и другие примеры.