На главную страницу НМУ

Алгебра (3 семестр) (осень 1999)

Г.Л.Рыбников

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Лекция 1 (23K)|Лекции 2-3 (47K)|Лекция 4 (36K)
Лекция 5 (23K)|Лекции 6-7 (35K)|Лекции 8-9 (37K)
Лекции 10-11 (11K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (23K)|Лекции 2-3 (48K)|Лекция 4 (36K)
Лекция 5 (23K)|Лекции 6-7 (35K)|Лекции 8-9 (37K)
Лекции 10-11 (51K)]

Задачи для семинаров (Exercise sheets)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Листок 1 (10K)|Листок 2 (9K)|Листок 3 (10K)|Листок 4 (11K)
Листок 5 (9K)|Листок 6 (10K)|Листок 7 (11K)|Листок 8 (9K)
Листок 9 (11K)|Листок 10 (11K)|Листок 11 (11K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (10K)|Листок 2 (9K)|Листок 3 (10K)|Листок 4 (11K)|Листок 5 (9K)
Листок 6 (10K)|Листок 7 (11K)|Листок 8 (9K)
Листок 9 (9K)|Листок 10 (11K)|Листок 11 (11K)]

Программа курса

Коммутативная алгебра и теория Галуа

  1. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна.
  2. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
  3. Расширения полей: конечные, алгебраические, конечнопорожденные.
  4. Алгебраическая зависимость. Степень трансцендентности расширения.
  5. Поле разложения многочлена. Алгебраическое замыкание поля.
  6. Сепарабельность. Совершенные поля.
  7. Число вложений одного расширения в другое. Теорема о примитивном элементе.
  8. Норма и след.
  9. Целые расширения колец.
  10. Нормальные расширения. Основная теорема теории Галуа.
  11. Теорема Гильберта о нулях.
  12. Кольца частных. Локализация.
  13. Лемма Нетер о нормализации и ее геометрический смысл.

Линейные представления групп

  1. Линейные представления и их морфизмы. Неприводимые и вполне приводимые представления.
  2. Алгебра эндоморфизмов неприводимого представления. Лемма Шура.
  3. Алгебра эндоморфизмов изотипического представления и описание всех его инвариантных подпространств.
  4. Теорема о двойном централизаторе.
  5. Теорема Бернсайда.
  6. Теорема Машке. Существование инвариантного эрмитового скалярного произведения в пространстве комплексного представления конечной группы.
  7. Полупростые алгебры. Строение конечномерных полупростых алгебр над алгебраически замкнутым полем.
  8. Модули над полупростой алгеброй.
  9. Центр полупростой алгебры. Инвариантная билинейная форма на полупростой алгебре.
  10. Теорема Машке. Полупростота групповой алгебры.
  11. Характеры представлений и центр групповой алгебры.
  12. Соотношения ортогональности характеров.
  13. Матричные элементы представлений. Соотношения ортогональности для матричных элементов. Разложение регулярного представления.
  14. Двойственное представление, прямая сумма и тензорное произведение представлений. Их характеры.
  15. Квазирегулярные представления. Их характеры и числа сплетения.
  16. Индуцированное представление. Двойственность Фробениуса.
  17. Представления симметрической группы.
  18. Двойственность Шура-Вейля.
  19. Полиномиальные представления полной линейной группы.
Rambler's Top100