На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в осеннем семестре 2002 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar ``Globus'' delivered during fall semester, 2002. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some (those for which lecturer's name in English is present) there are lecture notes in postscript format.
В полях алгебраических чисел (т.е. в конечных расширениях ${\mathbb{Q}}$) однозначность разложения на простые имеет место далеко не всегда. Насколько неоднозначным может быть это разложение определяется числом классов идеалов поля. Некоторое представление о поведении этого числа дает классическая теорема Брауэра-Зигеля, исследующая его поведение в бесконечных последовательностях полей. Теорема эта применима не всегда. Мы (М.А.Цфасман и докладчик) обобщили эту теорему на случай произвольной башни глобальных полей. Изящнее всего полученные результаты выглядят на выработанном в процессе этого обобщения языке бесконечных глобальных полей (бесконечных алгебраических расширений ${\mathbb{Q}}$ или ${\mathbb{F}}_r(t)$ ) и их дзета функций.
В настоящее время физики используют два основных подхода к изучению квантовых систем. Один из них - более традиционный - основан на непосредственном рассмотрении гильбертова пространства состояний системы Н, самосопряженных операторов в Н и их спектральных свойств (в особенности, оператора энергии - гамильтониана системы). Условно назовем такой подход функционально-аналитическим.
Другой - т.н. вероятностный или марковский подход, восходящий к давней работе Р. Фейнмана, но значительно с тех пор модифицированный, опирается на построение специальной вероятностной меры в пространстве классических траекторий системы. Эта мера является распределением некоторого стационарного марковского процесса, генератор которого и объявляется гамильтонианом системы.
Общепринято считать, что оба подхода эквивалентны, но оказывается это не всегда так. В докладе будет приведен пример квантовой системы, у которой гамильтонианы, полученные при разных способах квантования, существенно различны.
Главное отличие модальной логики от обычной (классической) - высказывания считаются истинными или ложными не сами по себе, а в зависимости от ситуации ("возможного мира"). В пространственной модальной логике множество миров наделяется топологической или геометрической структурой. Активное исследование логик этого вида в последние 10 лет связано с задачами информатики (представление знаний) и традиционными задачами клас- сической логики. С другой стороны - открывается новый подход к аксиоматике математических структур (топологические и метрические пространства, расслоения и т.д.).
В лекции будет дан обзор недавних результатов и проблем в данной области. Специальных знаний не предполагается.
Доклад посвящен эвристическим аспектам идемпотентного анализа и математики полуколец. Он основан на работах В.П. Маслова и его сотрудников, включая докладчика.
Традиционная математика над числовыми полями может быть деквантована. Для этого нужно устремить к нулю постоянную Планка по чисто мнимой оси. В результате появляется некоторая новая математика над идемпотентными полуполями и полукольцами (идемпотентность означает, что всегда х + х = х). Например, поле вещественных чисел может рассматриваться как квантовый объект, а идемпотентные полукольца - как ``классические'' или ``квазиклассические'' объекты. Имеется (эвристическое) соответствие между важными, полезными и интересными конструкциями и результатами над полями и аналогичными конструкциями и результатами над идемпотентными полукольцами в духе принципа соответствия Н. Бора.
Например, принципу суперпозиции в квантовой механике (т.е. линейности уравнения Шредингера) соответствует линейность уравнений Беллмана и Гамильтона-Якоби над идемпотентными полукольцами. Уравнение Гамильтона-Якоби является идемпотентной версией уравнения Шредингера. Принцип наименьшего действия в классической механике является идемпотентной версией подхода Р. Фейнмана к квантовой механике на основе интегралов по траекториям. Преобразование Лежандра является идемпотентным вариантом преобразования Фурье-Лапласа. Недавно О. Виро заметил, что идемпотентным аналогом вещественной алгебраической геометрии является геометрия многогранников.
Последовательное применение принципа соответствия приводит к разнообразным новым результатам, включая такие экзотические приложения, как методика патентования компьютерных устройств (процессоров) для научно-технических расчетов.
Около 20 лет назад К.Уленбек и С.Дональдсон обнаружили интересную компактификацию пространства модулей $SU_n$-инстантонов на римановом четырехмерном многообразии. Если это многообразие является комплексной алгебраической поверхностью, пространство модулей $SU_n$-инстантонов отождествляется с пространством модулей голоморфных $SL_n$-расслоений, и компактификацию Уленбек можно определить в рамках алгебраической геометрии (Дж.Ли, около 10 лет назад). Мы рассмотрим аналогичную задачу компактификации пространства модулей $G$-расслоений для произвольной полупростой группы $G$ и простейшей поверхности $P^2$.
Построение пространства Уленбек для такой группы $G$ использует бесконечномерные геометрические объекты, такие как аффинный Грассманниан $G$, или различные функциональные пространства (хотя результатом конструкции является конечномерное многообразие).
Пространство Уленбек вообще говоря особо, и можно вычислить топологические инварианты его особенностей, так называемые когомологии Горески-Макферсона. Их производящая функция связана с комбинаторикой двойственной по Ленглендсу аффинной алгебры Ли $G$. Заодно получается новая геометрическая конструкция канонического кристалла Кашивары этой алгебры Ли. А именно, кристалл реализуется в множестве неприводимых компонент некоторого лагранжева подмногообразия симплектического пространства модулей.
Это недавняя работа А.Бравермана и Д.Гайцгори.
Рассмотрим многообразие Грассмана, классифицирующее r-мерные подпространства в векторном пространстве E являющимся суммой n+1 линейного пространства. Этот грассманиан вкладывается по Плюккеру в проективизацию r-ой внешней степени E, причем это проективное пространство естественно градуировано в соответствии с фиксированной выше градуировкой пространства E.
Для фиксированной точки F грассманиана, множество ее ненулевых координат Плюккера образует выпуклое множество некоторого специального вида, называемое многогранником матроида.
Обратно, если задан многогранник S матроида, то множество точек F, многогранник которых совпадает с S, образует локально-замкнутую подсхему называемую "мелкой клеткой Шуберта".
Мы интересуемся факторами мелких клеток Шуберта по диагональному действию тора ранга n+1. Эти факторсхемы универсальны в мотивном смысле. Мы строим их проективную компактификацию, заданную явными уравнениями и снабженную некоторой стратификацией, страты которой проиндексированы укладками заданного многогранника матроида. Точнее говоря, эта компактификация снабжена структурным морфизмом в торическое поле (поле, являющееся фактором торического многообразия по действию тора), точки которого соответствуют укладкам нашего многогранника.
Здесь можно задать себе два вопроса:
1) Верно ли, что открытый страт всегда является плотной подсхемой в этой компактификации?
2) Можно ли предъявить достаточно большие семейства таких компактификаций (скажем, универсальные семейства в мотивном смысле), для которых структурный морфизм в торическое поле укладок многогранника гладок?
В 1950 году Джон Нэш опубликовал работу длиной 1.5 страницы, в которой была сформулирована и доказана его знаменитая теорема о существовании равновесия для любой некооперативной игры. За этот результат Нэш был удостоен Нобелевской премии по экономике 1994 года.
В докладе будет рассказано о доказательстве этой теоремы Нэша, описрающемся на теорему Какутани о неподвижной точке многозначных отображений, а также об игре "Дилемма узника", которая показывает ограниченность применимости теоремы Нэша.
Вопрос о том, как могут быть расположены на плоскости овалы вещественной алгебраической кривой данной степени, составляет первую часть 16-й проблемы Гильберта. Предложенный Гильбертом и Рооном геометрический подход к этой задаче (анализ возможных вырождений при однопараметрических деформациях) был доведен Гудковым в конце 60-х годов до окончательного решения для степени 6. Доказательство Гудкова было очень трудным и требовало рассмотрения большого количества частных случаев.
Вскоре после этого Арнольдом был предложен топологический подход, развитый в работах Рохлина и его школы, благодаря которому было достигнуто существенное продвижение, в частности, результат Гудкова превратился в простейший частный случай сравнения Гудкова-Рохлина, сравнительно несложно (с современной точки зрения) доказываемого в общем виде.
Созданная Громовым теория псевдоголоморфных кривых позволяет взглянуть на топологию вещественных кривых с новой точки зрения. Оказывается, большинство доказанных ограничений имеет место для вещественных (т.е. инвариантных относительно комплексного сопряжения) псевдоголоморфных кривых. В частности, это означает, что в тех случаях, когда некоторое расположение овалов реализуется псевдоголоморфно, для доказательства алгебраической нереализуемости необходимо привлечение новых методов. Доклад посвящен обсуждению таких новых методов (одним из которых, например, является "хорошо забытый старый" метод Гильберта-Роона-Гудкова).
В отличие от классических алгебр Ли, в случае супералгебр Ли центр универсальной обертывающей алгебры не является нетеровым. В особых точках спектра центра нарушаются многие теоремы теории представлений, в частности, теорема Бейлинсона и Бернштейна о локализации. Мы обсудим аналог теорем локализации в особых точках спектра и связанную с этим геометрию орбит в коприсоединенном представлении.
