 |
МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ |
 |
На главную страницу
МЦНМО-НМУ
К текущим докладам
English edition of colloquium talks for students" (a predecessor of Globus seminar)
Цель семинара: восстановить единство математики — мы должны (стремиться) понимать, что делают наши коллеги.
Семинар проходит (как правило) раз в две недели по четвергам в 15.40 в конференц-зале.
Приглашаются все интересующиеся математикой.
Q-многообразие - это супермногообразие, снабженное нечетным векторным полем с нулевым квадратом. С помощью Q-многообразий кодируются множество алгебраических и геометрических структур (как классических, так и их обобщений). Сами Q-многообразия, наряду с пуассоновыми многообразиями и "нечетными пуассоновыми" многообразиями (т.е., супермногообразиями, снабженными нечетной скобкой Пуассона), являются одним из трех возможных нелинейных версий понятия алгебры Ли.
В докладе я расскажу об этом и о универсальной конструкции "производных скобок", позволяющей получать новые дифференциально-геометрические и алгебраические структуры из некоторой "канонической" структуры (напр., коммутатора векторных полей или канонической скобки Пуассона на кокасательном расслоении) и "производящего элемента". Я также расскажу о "неабелевой лемме Пуанкаре", с применением к алгеброидам Ли и их нелинейным аналогам. Подобные объекты появляются, например, как симметрии в матфизических моделях, не сводимые к алгебрам и группам Ли. Однако они имеют и общегеометрическое значение, в применении к классическим вопросам, например, к теории связности.
В одномерной голоморфной динамике самый важный пример доставляют квадратные многочлены вида z^2+c - они в некотором смысле универсальны. Важно понимать, как динамические свойства этих многочленов меняются с изменением параметра c. Для этого используется множество Мандельброта M на плоскости параметров. Расположение параметра c по отношению к M (например, лежит ли c в M, и если лежит, то в какой части) говорит очень много о динамике многочлена z^2+c.
Мы обсудим комбинаторную структуру множества Мандельброта, а также его четырехмерного аналога для пространства всех кубических многочленов.
A (unmixed) Beauville surface is a complex surface of the form S=(C_1\times C_2)/G where C_1 and C_2 are complex curves of genus \geq 2 and G is a finite group acting freely on the product C1\times C2 in such a way that each of the factors is preserved by the action and, moreover, the quotient C_i/G is an orbifold of genus zero with three cone points. Beauville surfaces were introduced by Catanese following an initial construction of Beauville (of a surface of general type with invariants p_g=q=0) in which C_1=C_2 is the Fermat curve X_0^5+X_1^5+X_2^5=0 and G\simeq\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.
Striking properties of Beauville surfaces are 1) despite of being of general type they are rigid and 2) the curves C_i and the group G are determined by S. (For instance these two properties imply that these surfaces tend to possess Galois conjugates non homeomorphic to themselves)
In this talk I shall discuss questions such as which groups G and which genera g_1\leq g_2 of C1,C2 can arise in the construction of Beauville surfaces. In particular I will show that g_1 and g_2 have to be \geq 6 and that if g_1=6 then S agrees with (one of the two) Beauville examples above. The proof of this fact will rely on methods belonging to the theory of Riemann surfaces.
The search for a valid construction of quantum gravity has been on for most of the previous century initiated by Einstein?s formulation of General Relativity in 1916 and the quantum mechanics revolution in the 1920ties. Physicists today are still hunting the answers to the ultimate questions, e.g. how was the universe formed and how does one comprehend the fabric of space and time? In recent years, by a combination of different inputs from string theory, supersymmetry, unitarity and due to remarkable progress in computational capacity, a huge number of amplitudes have been computed in N=8 supergravity. Surprisingly the ultraviolet behavior of N = 8 supergravity is much better behaved than naively expected and it has revived the possibility that this theory could provide a perturbatively ultraviolet finite theory of quantum gravity. But any consistent theory of quantum gravity must describe the production of black holes at high energies which requires the inclusion of string theory state, which are needed to get a complete consistent theory of quantum gravity.
In this talk we will present the recent conceptual progress in the analysis of perturbative supergravity and the role of the dualities in string theory. We will discuss in particular the relation between string theory and N=8 supergravity and the importance of the non-perturbative state in the definition of a consistent quantum theory of gravity.
Based on work done with Niels Emil Bjerrum-Bohr, Michael B Green, Jorge Russo.
Корректирующий код С задается алфавитом А, длиной кодовых слов, и их множеством. Он определяет точку в единичном квадрате (скорость передачи, минимальное расстояние). Предельные точки этого множества (при фиксированном числе букв в А) эаполняют всю область, лежащую под некоторой непрерывной кривой. Свойства этой кривой во многом загадочны. Неизвестно даже, дифференцируема ли она.
В докладе будет описан новый подход к ее изучению, предложенный Ю.М. и М.Марколли и использующий идеи статфизики.
В 1926 году А.Я.Хинчин обнаружил, что в двумерных задачах теории диофантовых приближений возникают явления, существенно отличающиеся от тех, которые имеют место в задаче о приближении рациональными числами одного иррационального числа. Работа Хинчина содержала новые принципиальные идеи и конструкции. Многие из них неоднократно переоткрывались другими математиками (и переоткрываются до сих пор). Следует считать, что современная теория линейных диофантовых приближений была построена А.Я.Хинчиным и В.Ярником в первой половине 20 века. В докладе будет рассказано о некоторых классических результатах Хинчина и Ярника, и об их дальнейшем развитии.
После работ Хинчина и Ярника ряд крупных достижений был получен Г.Давенпортом и В.М.Шмидтом в 1960-70 годах. Особо следует остановиться на задачах, сформулированных Шмидтом в своем обзорном докладе 1982 года. Значительная часть этих задач к настоящему времени решена (к чему причастны многие математики, в том числе и докладчик).
Также предполагается рассказать о некоторых приложениях теории диофантовых приближений, в частности, о задаче В.В.Козлова, связанной с осцилляцией интеграла условно-периодической функции.
Каждому триангулированному многообразию можно сопоставить набор локальных комбинаторных данных, отражающих комбинаторное строение триангуляции в окрестностях её вершин, - набор так называемых линков вершин триангуляции.
В докладе будет рассмотрена задача о совместности таких локальных данных, то есть задача о существовании триангулированного многообразия, реализующего наперёд заданный набор линков вершин. Будет описана явная конструкция, позволяющая при некоторых естественных условиях реализовать набор линков, кратный заданному. Будет рассказано о приложениях этой задачи к классической проблеме Стинрода о реализации циклов и к задаче комбинаторного вычисления классов Понтрягина.
Арнольд выделил три источника (небесная механика, гидродинамика и криптография) и три составные части математики (вещественная, комплексная и кваторнионная). Однако в этой классификации пропущена самая интересная часть, октонионная математика, связанная с исключительными объектами.
Мы расскажем о некотором замечательном классе представлений простых алгебр Ли/алгебраических групп, микровесовых представлениях, и связанных с ним комбинаторных и геометрических структурах. Оказывается, получающийся при этом список почти столь же универсален, как классификация Картана-Киллинга, и возникает как ответ (или существенная часть ответа) в огромном количестве совершенно различных вопросов, в том числе и в таких, где, казалось бы, никаких алгебр Ли изначально нет.
Мы обсудим возникновение этого списка в теории гауссовых частично упорядоченных множеств, регулярных графов, йордановых пар, эрмитовых симметрических пространств, алгебраических поверхностей, однородных проективных многообразий, ...
В частности, этот список есть всюду, где появляются числа 16, 27, 56. Например, графы Шлефли и Госсета, 27 прямых на кубической гиперповерхности и 28 бикасательных и т.д.
Изложение не предполагает никакого знакомства с теорией представлений алгебраических групп или алгебр Ли. Более того, мы дадим элементарные чисто комбинаторные конструкции групп и алгебр Ли типов E_6, E_7 и F_4, доступные студенту младших курсов (продолжение, охватывающее также E_8 - в пятницу).
