Это - crash-course, который будет проходить по понедельникам, вторникам, четвергам и пятницам. Первая лекция - в четверг 10 мая.
Студентам НМУ, сдавшим этот курс, он, естественно, будет засчитан.
1.1. Топологические свойства: возвращаемость, топологическая транзитивность, минимальность, топологическое перемешивание, топологическая энтропия.
Примеры: сдвиги на компактных группах, автоморфизмы тора, символические системы и топологические цепи Маркова, некоторые примеры в которых возникают п-адические числа.
1.2. Измеримые (метрические) свойства: возвращаемость по Пуанкаре, эргодичность, разложение на эргодические компоненты, унитарные операторы и спецтральные свойства, перевешивание, кратная возвращаемость, энтропия.
Примеры: системы с дискретным спектром, схемы Бернулли и цепи Маркова, отображение Гаусса и цепные дроби, перекладывание отрезков, автоморфизмы тора и других компактных коммутативных групп.
1.3. Дифференциальные свойства: линеаризация и дифференциал гладких динамических систем, локальный и полу-локальный анализ, различные виды устойчивости, инвариантные меры и инвариантные распределения.
Эллиптическое, параболическое, гиперболическое и частично гиперболическое поведение. Элементарные примеры и основные черты гиперболического поведения.
2.1. Диофантовы и Лиувиллевы числа. Линейные эллиптические отображения, изометрии и вполне интегрируемые системы. Устойчивость, асимптотические резонансы (малые знаменатели) и быстрая аппроксимация.
2.2. Диофантово поведение в системах с одной частотой. Линейная устойчивость Диофрантова поведения. Метод Ньютона. Гладкая линеаризация диффеоморфизмов окружности, теорема Мозера об инвариантных кривых.
2.3. Лиувиллево поведение. Линейная неустойчивость. Диффеоморфизмы окружности с Лиувиллевыми числами вращения. Ражрушение и сохранение Лиувиллевых кривых для закручивающих отображений. Метод аппроксимаций посредством сопряжения (Аносов-Каток) и возмущения изометрий.
2.4. Различия между Лиувиллевым поведением в случае одной и многих частот. Перемешивающие замены времени в линейных потоках на торе размерности больше 2 (Б. Файад).
3.1. Характерные черты параболического поведения.
3.2. Основные примеры параболических систем: унипотентные аффинные отображения тора, унипотентные потоки на однородных пространствах (теория М. Ратнер) потоки на поверхностях рода больше 1 (результаты Г. Форни), биллиарды в многоугольниках и связанные с ними системы.
А.Б. Каток, Б. Хасселблатт, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, Москва, 1999
B. Hasselblatt, A. Katok, Principal structures, Preprint, to appear in Handbook of Dynamical Systems, Elsevier 2001 (copies will be provided)
