На главную страницу НМУ

С.М.Львовский (S.Lvovski)

Комплексный анализ (Complex analysis)

Упражнения (Exercises)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

[Лекция 1 (30K)|Лекция 2 (32K)|Лекция 3 (32K)|Лекция 4 (29K)
Лекция 5 (31K)|Лекция 6 (32K)|Лекция 7 (34K)|Лекция 8 (34K)
Лекция 9 (33K)|Лекция 10 (30K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (30K)|Лекция 2 (32K)|Лекция 3 (32K)|Лекция 4 (29K)
Лекция 5 (31K)|Лекция 6 (32K)|Лекция 7 (34K)|Лекция 8 (34K)
Лекция 9 (33K)|Лекция 10 (30K)]

Экзамен (Exam)

[Postscript (25K)|Zipped postscript (11K)]

Программа курса

1. Голоморфные функции
Различные определения голоморфности. Теорема об обратной фукнции. Теорема Коши.
2. Вокруг формулы Коши
Формула Коши. Интегральная формула для производной. Почленное дифференцирование. Аналитичность голоморфных функций. Теорема Морера.
3. Локальные свойства
Кратность нуля. Принцип аналитического продолжения (теорема единственности). Ряд Лорана. Изолированные особые точки.
4. Применения локального анализа
Характеризация многочленов и теорема Лиувилля. Принцип сохранения области. Ветвление. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Группы автоморфизмов круга, полуплоскости и комплексной плоскости.
5. Римановы поверхности
Определение. Сфера Римана. Мероморфные функции и отображения в сферу Римана. Эллиптические кривые. Пучок голоморфных функций и аналитическое продолжение. Накрытия (неразветвленные) римановых поверхностей.
6. Риманова поверхность алгебраической функции
Конструкция. Структура разветвленных накрытий.
7. Эллиптические функции
$\wp$-фукнция Вейерштрасса. Соотношение между $\wp$ и ее производной. Эллиптическая кривая как риманова поверхность алгебраической функции.
8. Классификация эллиптических кривых
Критерий изоморфности эллиптических кривых. Нормальная форма Вейерштрасса. Инварианты $k^2$ и j.
9. Теорема Римана об отображении
Конформное отображение как решение экстремальной задачи. Принцип аргумента. Теорема Монтеля.
10. Гиперболическая метрика и теорема Пикара
Инвариантная метрика на единичном круге. Теорема об униформизации (без доказательства). Инвариантная метрика на гиперболических поверхностях. Геометрический смысл леммы Шварца. Применение: большая теорема Пикара.

Rambler's Top100