Цель спецкурса --- создать базу для дальнейшего знакомства с топологией четырехмерных многообразий --- красивой, глубокой и бурно развивающейся части математики (и физики), а также продемонстрировать основные методы геометрической и алгебраической топологии в их взаимодействии. Большинство идей четырехмерной топологии будет поясняться на доступных примерах (меньшей размерности). Однако поскольку ясное изложение большей части планируемого материала либо труднодоступно, либо отстутствует, спецкурс может быть также интересен аспирантам. Для понимания спецкурса достаточно начальных знаний по топологии (например, в пределах полугодового вводного курса в НМУ плюс основы теории гомологий и топологии многообразий). Материал настоящего спецкурса не будет использовать и практически не будет повторять материал спецкурсов, ранее читавшихся А. Скопенковым в НМУ (в частности, материал одноименного спецкурса весны 2002).
1. Примеры Артина заузленных двумерных сфер в $\R^4$. Примеры заузленных двумерных торов в $\R^4$.
2. Примеры четырехмерных многообразий. Хирургия Дена. Хирургия и кобордизм.
3. Пример негомеоморфных односвязных четырехмерных многообразий с одинаковыми группами гомологий. Геометрическое определение формы пересечений четырехмерных многообразий.
4. Cигнатура четырехмерных многообразий. Теорема Рохлина о сигнатуре (без доказательства).
5. Реализация двумерных гомологических классов четырехмерных многообразий вложенными поверхностями. Пример Кервера-Милнора комологического класса, не реализуемого вложенной сферой.
6. Конструкция Понтрягина. Критерий Понтрягина реализуемости двумерных гомологических классов четырехмерных многообразий отображениями в двумерную сферу.
7. Инвариант дополнения. Стабильное дополнение. Примеры вложений четырехмерных многообразий в коразмерности больше 2 с различными дополнениями (без доказательства).
8. Нормальное расслоение. Стабильное нормальное расслоение. Тривиальность нормального расслоения ориентируемого двумерного многообразия в $\R^4$. Примеры вложений в $\R^4$ с различными нормальными расслоениями (без доказательства).
9. Приклеивающий инвариант Левина для оснащенных вложений $S^4\to S^7$. Нормальные системы. Надстройка, стабильные нормальные системы.
10. Классификация гладких вложений $S^4\to S^7$ (без доказательства). Теорема Браудера-Левина о реализации нормальных систем (без доказательства).
