На главную страницу НМУ

А.Ю.Пирковский (A.Pirkovski)

Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов (Spectral theory for linear operators)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewwed directly by some versions of ghostview)

[Лекция 1 (53K)|Лекция 2 (37K)|Лекция 3 (39K)|Лекция 4 (41K)
Лекция 5 (38K)|Лекция 6 (54K)|Лекция 7 (41K)
Лекция 8 (53K)|Лекция 9 (46K)|Лекция 10 (56K)|Лекция 11 (48K)|Лекция 12 (49K)
Лекция 13 (60K)|Лекция 14 (75K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (53K)|Лекция 2 (37K)|Лекция 3 (39K)|Лекция 4 (41K)
Лекция 5 (38K)|Лекция 6 (54K)|Лекция 7 (41K)
Лекция 8 (53K)|Лекция 9 (46K)|Лекция 10 (57K)|Лекция 11 (48K)|Лекция 12 (49K)
Лекция 13 (60K)|Лекция 14 (75K)]

Booklet based on the lecture notes

[Gzipped postscript (503K)|Zipped postscript (503K)]

Цели

Предполагается рассказать об основных понятиях спектральной теории линейных операторов в банаховом пространстве, делая (по возможности) акцент на алгебраических аспектах теории.

Требования к подготовке слушателей:

по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них), ТФКП (основные свойства аналитических функций, степенные ряды). Также желательно некоторое знакомство с основными понятиями функционального анализа: нормированными пространствами, линейными операторами и т.п. (например, в объеме прошлогоднего курса). Впрочем, все необходимые сведения будут напоминаться по ходу дела.

Примерная программа курса

Общие свойства спектра.
Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции. Непустота и компактность спектра элемента банаховой алгебры. Теорема Гельфанда-Мазура. Причины необратимости оператора и части его спектра (точечный, непрерывный, остаточный, аппрокимативный точечный\dots). Двойственность: спектр сопряженного оператора. Нахождение спектра конкретных операторов: диагонального, умножения на функцию, сдвига.
Голоморфное функциональное исчисление.
Интегрирование вектор-функций. Теорема Гельфанда о существовании голоморфного функционального исчисления в окрестности спектра. Единственность голоморфного исчисления. Теорема об отображении спектра.
Алгебраические переформулировки
полученных результатов. Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй целых функций. Пространство максимальных идеалов как ``место обитания'' спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об отображении спектра. Задача о функциональном исчислении. \item \textbf{$C^*$-алгебры, операторы в гильбертовом пространстве и непрерывное исчисление.} Геометрия гильбертова пространства (основные факты). Операторы в гильбертовом пространстве. Некоторые сведения о $C^*$-алгебрах. Спектр самосопряженного и унитарного элемента. Преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгебры. Первая теорема Гельфанда-Наймарка. Непрерывное функциональное исчисление от нормального элемента. Теорема об отображении спектра. Непрерывное исчисление от \лк конкретных\пк\ операторов.
Компактные и фредгольмовы операторы.
Общие свойства компактных операторов; компактность сопряженного оператора, идеал компактных операторов. Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы. Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса. Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора. Характеризация фредгольмовых операторов. Алгебра Калкина. Существенный спектр. Пример: оператор сдвига. Диагонализация компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
Спектральная теорема и борелевское исчисление.
Спектральные меры. Описание представлений коммутативных $C^*$-алгебр. Спектральная теорема для самосопряженного оператора в терминах разложения единицы. Разложение единицы для конкретных операторов: проектора, диагонального, умножения на функцию. Борелевское функциональное исчисление. Описание частей спектра (непрерывного, точечного, существенного) через разложение единицы. Спектральная теорема в терминах оператора умножения.

Дальнейшие темы --- на выбор слушателей:

Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление от набора коммутирующих операторов
Полинормированные (=локально выпуклые) пространства, пространства Фреше, алгебры и модули Фреше. Проективное тензорное произведение локлаьно выпуклых пространств. Элементы гомологической алгебры (алгебраический и функционально-аналитический варианты): комплексы, гомологии, проективные модули и проективные резольвенты, функтор Tor. Резольвента Кошуля для алгебры многочленов и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах функтора Tor. Совместный спектр Тэйлора и примеры его нахождения. Параметризованные банаховы комплексы: открытость "множества точности". Комплекс Чеха и построение голоморфного исчисления на совместном спектре.
Элементы локальной спектральной теории.
Основные сведения о пучках. Пучки Фреше; примеры. Пучковая модель оператора. Конечномерный случай. Пучковые модели для "конкретных" операторов. Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство "бета" Бишопа. Примеры и контрпримеры. Каноническая пучковая модель оператора со свойством "бета". Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов. Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели. Локальные спектральные подпространства и их свойства. Описание локальных спектральных подпространств оператора со свойством "бета" в пучковых терминах. Квазикогерентные пучки Фреше. Эквивалентность свойства "бета" линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели. Мягкие пучки. Разложимые операторы. Эквивалентность разложимости оператора и мягкости его пучковой модели.

Rambler's Top100