В весеннем семестре 2007--2008 года продолжит работу семинар "Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений" под руководством А. Вербовецкого и И. Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
Если вы хотите получать рассылку информации о текущей программе семинара, сообщите, пожалуйста, по адресу verbovet блямба mccme.ru
14 мая
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Подход Марвана к проблеме спектрального параметра
Аннотация:
Будет разобрана статья Михала Марвана (http://arxiv.org/abs/0804.2031) о проблеме спектрального параметра, т.е. об условиях при которых некоторое представление нулевой кривизны может быть вложено в нетривиальное однопараметрическое семейство представлений нулевой кривизны с той же алгеброй Ли.
7 мая
Докладчик: R.Vitolo (Lecce, Italy)
Тема: On differential equations characterized by their
Lie point symmetries
We study the geometry of differential equations determined uniquely by their point symmetries. The action of the infinitesimal group of point symmetries foliates the jet space where the equation live. Equations which are uniquely determined by their point symmetries are of two types: they either coincide with a leaf of the part of the jet space where the action is regular or they coincide with the singular subset of the action. Many examples are provided, ranging from minimal submanifolds and geodesics to Monge-Ampere equations and some of their generalizations.
16 апреля
Докладчик: Ю.Н.Братков
Тема: Гиперболическое уравнение Монжа-Ампера: классические решения на всей
плоскости
На плоскости R^2 = (x,y) рассматривается задача Коши для гиперболического уравнения Монжа-Ампера
A + B z_{xx} + C z_{xy} + D z_{yy} + hess z = 0.
Здесь
hess z = z_{xx} z_{yy} - z_{xy}^2,
коэффициенты A, B, C, D имеют наиболее общий вид, т.е. зависят от x, y, z, z_x, z_y. Уравнение гиперболично, если C^2 - 4BD + 4A>0. Формулируются достаточные условия существования C^3-решения на всей плоскости. Используется сведение гиперболического уравнения Монжа-Ампера к слабо нелинейной системе пяти уравнений в римановых инвариантах.
9 апреля
Докладчик: М.Ф.Прохорова (Екатеринбург)
Тема: Графен и теорема Атийи-Зингера об индексе эллиптических операторов
Будет рассказана математическая часть работы М.И.Кацнельсона и М.Ф.Прохоровой "Zero-energy states in corrugated bilayer graphene" (http://arxiv.org/abs/0802.1409). Графен -- это недавно открытый двумерный аллотроп углерода. Для ответа на вопрос о существовании состояний с нулевой энергией в однослойном и двуслойном графене и о количестве таких состояний необходимо исследовать некоторые эллиптические дифференциальные операторы на одномерном комплексном расслоении над двумерным тором. С помощью теоремы Атийи-Зингера задача будет сведена к вычислению индекса (разности размерностей ядра и коядра) одного из этих операторов. Для этого вычисления оператор заменяется другим оператором с тем же символом и известным (из теоремы Римана-Роха) индексом.
2 апреля 26 марта 19 марта семинара не будет.
12 марта Будет рассмотрено действие псевдогруппы всех диффеоморфизмов
базы естественного расслоения почти комплексных структур на его
тотальном пространстве. Будет вычислен первый нетривиальный
дифференциальный инвариант этого действия. Его ограничение на
произвольную почти комплексную структуру является тензорным полем
типа (1,2). Будет доказано, что это поле равно нулю тогда и
только тогда, когда тензор Нийенхойса рассматриваемой структуры
равен нулю.
5 марта Будет доказано, что если нелинейный дифференциальный оператор
одного независимого переменного размера $m \times m$ порядка $k$
двустороне обратим, то порядок обратного оператора не больше,
чем $mk-1$. Будут приведены обобщение этого результата на
случай обратимых операторов из уравнений в пространства джетов
и примеры, когда приведенная оценка точная. Возможности усиления
результата и обобщения на случай нескольких независимых переменных
будут обсуждены.
27 февраля Как известно, линейному д.о. отвечает
гомоморфизм левых $D$-модулей
$K[D] \otimes Q \to K[D] \otimes P$;
пусть $E$ - его коядро.
Ему можно сопоставить гомоморфизм $D$-модулей с кривизной
$\K[\bar{D}]$ \otimes Q' \to K[\bar{D}] \otimes P$,
пусть $\bar{E}$ - его коядро.
Очевидно, $E$ есть коядро гомоморфизма
$\mu: I \otimes \bar{E} \to \bar{E}$,
где $I$ - ядро канонической проекции $K[\bar{D}] \to K[\bar{D}]$.
Оказывается, формальная разрешимость исходного д.у. эквивалентна
свойствам типа формальной разрешимости для гомоморфизма $\mu$.
Замечательно, что эта конструкция работает для универсальной
линеаризации произвольного д.у., и это дает препятствие к его
формальной разрешимости.
20 февраля Мы посмотрим, как получить препятствие к формальной разрешимости при помощи
дифференциальных операторов с кривизной.
Если $K$ - кольцо функций на многообразии, то под д.о. с
кривизной $K \to K$ я понимаю элемент некоммутативного кольца
$K[\bar{D}]$, порожденного $K$ и $D$ (множеством всех
дифференцирований $K \to K$) и соотношениями:
здесь в левых частях подразумевается умножение в $K[\bar{D}]$, в правых --
обычное умножение векторного поля на функцию и обычное дифференцирование
функции вдоль векторного поля. Чтобы получить кольцо обычных д.о. $K[D]$,
надо добавить еще одно соотношение:
Дифференциальные операторы с кривизной можно определить для
любых расслоений. И можно определить джеты с кривизной.
Если $(x_i)$ - координаты на базе, $(u_{\alpha}$ - координаты на слое, то
координаты на джетах с кривизной -- $(u_{\alpha,i_1,\dots,i_k})$, но порядок
индексов (в отличие от обычных джетов) существен.
13 февраля В докладе будут представлены новые результаты о связи форм
Маурера-Картана псевдогрупп симметрий и накрытий дифференциальных
уравнений. Примеры будут включать уравнение r-dmKP и второе
небесное уравнение Плебанского.
6 февраля Аннотация:
In this talk I will present new results on the correspondence between
symmetries, conservation laws, and variational principles for field
equations in general non-abelian gauge theories, obtained jointly
with Gianni Manno and Juha Pohjanpelto. Our main result states
that second order field equations possessing translational and
gauge symmetries and the corresponding conservation laws are always
derivable from a variational principle. Counterexamples show that
the above result fails in general for third order field equations.
Докладчик: Paul Kersten (University of Twente, The Netherlands)
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Что такое кокасательное расслоение к дифференциальному
уравнению? (часть 6)
Докладчик: В.А.Юмагужин
Тема: О препятствии к интегрируемости почти комплексной
структуры
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Оценка порядка обратного дифференциального оператора одного
независимого переменного
Докладчик: И.Миклашевский
Тема: Формальная разрешимость переопределенных систем дифференциальных
уравнений. Часть 2.
Докладчик: И.Миклашевский
Тема: Формальная разрешимость переопределенных систем дифференциальных
уравнений
$fX = fX$,
$Xf-fX = f_X$,
где $f \in K$, $X \in D$;
$XY-YX = [X,Y]$.
Докладчик: О.И.Морозов
Тема: Псевдогруппы симметрий и накрытия дифференциальных уравнений
Докладчик: R.Vitolo (Lecce, Italy)
Тема: Gauge invariance, charge conservation, and variational
principles
