На главную страницу НМУ

А.И.Буфетов

Броуновское движение, эллиптические операторы и стохастические дифференциальные уравнения

(теория случайных процессов)

(Рекомендовано для 2-3 курсов)

Программа

1. Броуновское движение. Свойства его траекторий.
2. Теорема Колмогорова о существовании процесса. Примеры. Теорема Колмогорова о непрерывной модификации.
3. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Уравнения Колмогорова.
4. Стационарное распределение марковского процесса. Эргодическая теорема. Условие Деблина. Пуассоновский процесс. Процессы массового обслуживания.
5. Стационарные в широком смысле процессы. Эргодическая теорема фон Неймана. Спектральное представление. Теоремы Герглотца и Бохнера--Хинчина.
6. Задача линейного прогнозирования и теорема Сеге.
7. Стационарные в узком смысле процессы. Эргодическая теорема Биркгофа--Хинчина.
8. Мартингалы. Неравенство Дуба. Теорема о сходимости. Разложение Дуба-Мейера.
9. Марковские процессы. Свойство Феллера. Строгое марковское свойство броуновского движения. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
10. Диффузионные процессы. Уравнения Колмогорова. Уравнение теплопроводности и броуновское движение. Процесс Орнштейна--Уленбека.
11. Стохастический интеграл. Формула Ито.
12. Теорема существования и единственности для стохастических дифференциальных уравнений.

Для понимания крса желательно некоторое знакомство с интегралом Лебега; впрочем, по желанию слушателей необходимы сведения можно напомнить. Курс доступен студентам первого года обучения. Студенты, сдавшие курс, смогут перезачесть его на мехмате МГУ как "Дополнительные главы теории случайных процессов".