На главную страницу НМУ

Михаил Александрович Раскин

Верное и доказанное

ВИДЕО Курс планируется посвятить основным понятиям математической логики, рассматриваемой как способ описать способы рассуждения в математике.
Я собираюсь обратить внимание слушателей не только на то, что является правильным доказательством (это можно осознать и на примерах, таким примером является любой другой курс НМУ), но и на то, что может оказаться неправильным, каким способом определить эту неправильность и каких доказательств быть не может.
Кроме того, будут показано также и примеры того, что можно было бы строить математику на другом понятии доказательства и тоже получить область изучения быть может, иногда менее интересную и применимую, но это уже внешние понятия.

Предварительных знаний не требуется, но я надеюсь иногда ссылаться на примеры из алгебры и математического анализа, которые проходятся на первом курсе.

Я планирую, что в качестве основного учебника, по которому будут излагаться доказательства теорем, будет использоваться учебник Верещагина и Шеня.

Экзамен

[Экзаменационное задание 1 .pdf|Экзаменационное задание 2 .pdf]

Лекции (Lecture notes. pdf)

[Лекция 2 .pdf|Лекция 3 .pdf|Лекция 4 .pdf|Лекция 5 .pdf|Лекция 6 .pdf]
[Лекция 7 .pdf|Лекция 8 .pdf|Лекция 9 .pdf|Лекция 10 .pdf|Лекция 11 .pdf]
[Лекция 12 .pdf|Лекция 13 .pdf]

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .pdf]

План программы курса

  1. Введение.
    Математика как изучение полностью формальных фактов.
    Способы установления формального факта. Понятие доказательства. Варианты требований к доказательству.
    Логика как наука о формальных доказательствах формальных фактов.

  2. Стандартные системы записи и доказательства формальных фактов.
    Силлогизмы. Исчисление высказываний.
    Исчисление предикатов первого порядка.
    Модальные логики.
    Исчисления Ламбека.
    Стандартные выводы.
    Генценовские исчисления.
    Исчисление резолюций.

  3. Примеры нестандартных подходов.
    Паранепротиворечивые логики.
    Ультрафинитизм.

  4. Базовые факты про стандартные системы.
    Модели. Корректность исчислений высказываний и предикатов (1-го порядка).
    Полнота исчисления высказываний и исчисления предикатов.
    Устранение сечений.

  5. Стандартные аксиоматические системы.
    PA (Арифметика Пано).
    ZFC (Теория множеств Цермело-Френкеля).
    Алгебраические структуры.

  6. Ограничения доказуемого.
    Понятие независимости утверждения от аксиом. Примеры в простых аксиоматиках.
    Континуум-гипотеза.
    Вычислимость и доказуемость.
    Неподвижная точка и вычислительные модели в широком смысле слова.
    Проблема остановки. Существование программы, про которую ничего нельзя доказать.
    Теорема Гёделя о неполноте. Расширения с помощью утверждения из теоремы Гёделя.
    Нестандартные модели арифметики и теории множеств.

  7. Новая правда. Доказательства, которые не может прочитать человек.
    Проблемы, которые могут быть с необозримым доказательством, и от которых мы обоснованно отмахиваемся, если доказательство читаем.
    Виды проблем с надёжностью компьютерного доказательства.
    Что же доказано в теореме о четырёх красках.
    Существующие технические средства.

Литература:

  1. учебник Шеня и Верещагина: Н./~ZК./~ZВерещагин, А./~ZШень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов.

  2. конспект Пентуса: М. Р. Пентус. Спецкурс "Исчисление Ламбека"

  3. статья Ламбека: J oachim Lambek. The mathematics of sentence structure

  4. Конспект Верещагина по методу вынуждения в теории множеств: Н.К. Верещагин. Метод вынуждения (конспект лекций)

  5. учебник Шеня и Верещагина по теории множеств: Н.К.Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств.

  6. Статья про теорему 4 красок: Georges Gonthier. Formal Proof The Four-Color Theorem
Rambler's Top100