На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Инварианты и представления классических групп

Листки (Exercise sheets I).pdf

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf]

Программа курса:

1. Ликбез по группам Ли: линейные группы Ли, касательная алгебра, экспоненциальное отображение.

2. Связь между представлениями группы Ли и её алгебры Ли. Компактные группы Ли, редуктивные группы Ли, унитарный трюк Вейля, полная приводимость. Теоремы Энгеля и Ли. Разрешимые группы Ли.

3. Представления sl(2). Оператор Казимира. Характеры представлений. Разложение тензорных произведений, правило Клебша-Гордана.~Z

4. Представления sl(n) и gl(n). Корни и веса. Связь с многочленами Шура, разложение тензорных произведений. Двойственность Шура-Вейля.

5. Классификация комплексных (полу)простых алгебр Ли. Группа Вейля, схемы Дынкина. Восстановление алгебры Ли по её схеме Дынкина. Классические и исключительные полупростые алгебры Ли.

6. Конструкция представления с данным старшим весом: модули Верма, БГГ-резольвента. Формулы Вейля для характера и для размерности.

7. Представления so(n) и sp(2n). Конструкция Вейля. Спинорные представления so(n), спинорная группа.

8. Теория инвариантов. Оператор Рейнольдса, конечная порождённость алгебры инвариантов редуктивной группы. Первая и вторая основная теорема теории инвариантов для классических групп.

9. Однородные пространства полупростых групп Ли. Грассманианы и многообразия флагов. Линейные расслоения над многообразием флагов, теорема Бореля-Вейля-Ботта.