Миша Вербицкий

Локально конформно кэлеровы многообразия

Локально конформно кэлеровы (LCK) многообразия суть многообразия, универсальное накрытие которых кэлерово, а группа монодромий действует гомотетиями. Это простейший пример некэлерова комплексного многообразия. В последние 10 лет теория LCK-многообразий развивается очень активно. Я изложу основные результаты теории LCK-многообразий в ее современном состоянии.

Определение и базовые свойства LCK-многообразий. Весовое расслоение и форма Ли. Теорема Вайсмана о некэлеровости LCK-многообразий: компактное LCK-многообразие с нетривиальным весовым расслоением не допускает кэлеровой структуры.
Контактные, сасакиевы и вайсмановы многообразия. Структурная теорема для вайсмановых многообразий. Регулярные, квазирегулярные, иррегулярные вайсмановы и сасакиевы структуры. Теорема об иммерсии вайсмановых многообразий в многообразие Хопфа.
Классификация некэлеровых поверхностей и классификация сасакиевых 3-многообразий (Бельгун). Поверхности Инуэ и многообразия Олеклауса-Тома.
LCK-многообразия с потенциалом и теорема о вложении LCK-многообразий с потенциалом: каждое LCK-многообразие с потенциалом (в частности, каждое вайсманово) вкладывается в многообразие Хопфа. Явные конструкции вайсмановых и LCK-метрик на многообразиях Хопфа.
Строго псевдовыпуклые CR-многообразия и сасакиева геометрия.
Когомологии Морса-Новикова и Ботта-Черна для LCK-многообразий. Деформационная устойчивость LCK-многообразий с потенциалом.
Группа автоморфизмов вайсманова многообразия. Существование потенциала и существование вайсмановой метрики на LCK-многообразиях с большими группами автоморфизмов.
Студентам понадобится знание основ дифференциальной геометрии: кэлеровы метрики, связности, когомологии, векторные расслоения, кривизна риманова многообразия, почти комплексные и симплектические структуры, локальные системы. Понимания содержания осеннего курса "Дифференциальная геометрия и векторные расслоения" должно быть достаточно.