На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Группы отражений

Спецкурс предназначается для студентов 2--3 курса, первокурсники тоже могут попробовать.

Программа курса

  1. Системы корней. Конечные группы, порожденные отражениями. Простые и положительные корни. Порожденность группы отражений отражениями относительно простых корней.

  2. Фундаментальная область. Камера Вейля. Группы отражений и замощения (калейдоскопы) на сфере.

  3. Группы отражений как группы Кокстера. Соотношения Кокстера. Функция длины. Условие сокращения и условие замены. Элемент максимальной длины.

  4. Классификация систем корней. Графы Кокстера. Классификация положительно определенных и положительно полуопределенных графов Кокстера. Подграфы. Теорема Перрона-Фробениуса.

  5. Кристаллографические системы корней. Схемы Дынкина. Решетки корней, кокорней, весов и ковесов.

  6. Явные конструкции систем корней. Системы корней в $\mathbb{R}^4$ и кватернионы. Конструкции исключительных систем корней.

  7. Группы симметрий правильных многогранников как группы отражений. Символ Шлефли. Классификация правильных многогранников в $\mathbb{R}^n$.

  8. Полиномиальные инварианты конечных групп. Теорема Гильберта о базисе. Теорема Нетер.

  9. Псевдоотражения. Теорема Шевалле--Шепарда--Тодда о группах со свободной алгеброй инвариантов.

  10. Базисные инварианты, набор степеней группы отражений.

  11. (*) Проблема равенства слов в группах отражений. Алгоритм Титса.

  12. (*) Кристаллографические группы. Группы Федорова на плоскости. Восемнадцатая проблема Гильберта и теорема Бибербаха.

Темы, отмеченные (*), будут разобраны, если останется время.

Литература

  1. James E. Humphreys. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, 1989

  2. Э. Б. Винберг. Калейдоскопы и группы отражений. Математическое просвещение, третья серия, 7 (2003).

  3. О. В. Шварцман. Группы отражений и группы Кокстера Математическое просвещение, третья серия, 7 (2003).

  4. В. О. Бугаенко. Классификация многогранников Кокстера. Математическое просвещение, третья серия, 7 (2003).

  5. В. О. Бугаенко. Правильные многогранники. Математическое просвещение, третья серия, 7 (2003).

  6. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. ВИНИТИ, том 29, 147--259

  7. Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. М.: МЦНМО, 2009
Rambler's Top100