На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Симметрические функции

Экзамен

Экзаменационное задание

Программа курса

Симметрические многочлены. Кольцо симметрических функций. Базисы кольца симметрических функций: элементарные, полные, мономиальные симметрические функции, степенные суммы. Формулы перехода между базисами.

Функции Шура. Алгебраическое определение. Формула Якоби-Труди. Комбинаторное определение, его эквивалентность алгебраическому. Таблицы Юнга.

Приложения к комбинаторике: подсчет плоских разбиений, формула Макмагона.

Соответствие Ричардсона-Шенстеда-Кнута. Игра в пятнадцать (jeu de taquin).

Умножение функций Шура. Правило Пьери. Правило Литтлвуда-Ричардсона. Мозаики Кнутсона-Тао (*)

Симметрическая группа, ее кокстеровское представление. Порядок Брюа. Код Лемера и существенное множество перестановки.

«Частично симметрические» многочлены. Операторы разделенных разностей. Многочлены Шуберта.

Свойства многочленов Шуберта. Формула Монка, формула перехода Ласку.

Комбинаторное представление многочленов Шуберта. Pipe dreams. Положительность коэффициентов, теорема Кириллова-Формина.

Флаговые функции Шура, детерминантные формулы. Связь с многочленами Шуберта.

(*) Обобщения: двойные многочлены Шуберта, симметрические функции Стенли, многочлены Гротендика

Темы, отмеченные звездочкой, будут разобраны, если останется время.

Литература

Список литературы