На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

Данный курс является продолжением курса анализа на многообразиях прошлого семестра (осень 2019 года), поэтому начнётся с того, что будут рассказаны некоторые сюжеты из анализа, не уместившиеся в прошлом семестре. Затем будут изложены следующие темы: классическая дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовых пространствах, гладкие векторные расслоения и связности в них, риманова геометрия многообразий и их подмногообразий, конструкция Чженя-Вейля характеристических классов.

Предполагается, что слушатели знакомы с анализом, линейной алгеброй и гладкими многообразиями.

Экзамен

Видеозаписи лекций на MathNet

Еще записи лекций:

Лекция 12

Лекция 13

Лекция 14

Лекция 15

Лекция 16

Лекция 17

Лекция 18

Лекция 19____________________________

Презентации к лекциям:

[ к лекции 9 | к лекции 10 | к лекции 11 | к лекции 12 ]
[ к лекции 13 | к лекции 14 | к лекции 15 | к лекции 16 ]
[ к лекции 17 | к лекции 18 | к лекции 19 ]

Лекции

Курс завершен

Листки

[ листок 1 | листок 2 | листок 3 | листок 4 ]
[ листок 5| листок 6| листок 7| листок 8 ]
[ листок 9| листок 10| листок 11| листок 12 ]

Программа курса

• некоторые темы из анализа на многообразиях
• Кривые в плоскости и в пространстве. Кривизна, кручение, репер Френе.
• Поверхности в трехмерном пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Главные кривизны, средняя и гауссова кривизна. Нормаль средней кривизны. Формула Эйлера для кривизны нормального сечения.
• Поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Первая и вторая квадратичные формы. Связности в касательном и нормальном расслоениях к поверхности. Вторая квадратичная форма и оператор Вейнгартена. Деривационные уравнения Гаусса-Вейнгартена. Теорема Гаусса-Бонне для поверхностей.
• Векторные расслоения. Склеивающие коциклы. Структурная группа. Евклидовы и эрмитовы расслоения. Естественные операции с расслоениями. Ориентируемые расслоения.
• Связности в векторных расслоениях. Локальное задание связности: локальная форма связности, символы Кристоффеля. Кривизна. Связности в евклидовых и эрмитовых расслоениях. Связности, согласованные с метрикой и их кривизна.
• Связности в главных расслоениях.
• Римановы многообразия. Кручение, кривизна. Связность Леви-Чивиты. Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.
• Римановы многообразия II. Геодезические. Геодезические координаты. Лагранжево описание геодезических. Вторая вариация.
• Подмногообразия римановых многообразий. Первая и вторая квадратичные формы.
• Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
• Характеристические классы. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Классы Чженя, Понтрягина и Эйлера и их свойства. Характер Чженя и его свойства.
• Расслоения и их когомологии. Класс Тома. Конструкция класса Тома по Матаи-Квиллену. Связь класса Тома и класса Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне.