На главную страницу МЦНМО-НМУ

Юлий Сергеевич Ильяшенко и Иван Сергеевич Шилин

Динамические системы

Страница семинара, статьи про глобальные бифуркации в однопараметрических семействах

Семинар «Динамические системы» под руководством Юлия Сергеевича Ильяшенко и Ивана Сергеевича Шилина будет проходить по пятницам с 18:30 до 21:30.
Объявления о каждом заседании будут рассылаться заранее по списку участников.

С 23 октября семинар будет проходить только дистанционно в зууме.
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

ВЕСНА 2021


Пятница, 26 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
в ауд.310 Независимого Московского Университета в Zoom (Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)

Антон Городецкий

(University of California, Irvine)

Теорема Фюрстенберга и ее обобщения

По работам в соавторстве с Виктором Клепцыным.
Если возводить матрицу (скажем, 2x2 матрицу) в степень и смотреть, как быстро растет ее норма, то асимптотически она будет расти или экспоненциально (гиперболический случай), или полиномиально, или вовсе не будет расти (для эллиптических матриц). А что если взять две матрицы и начать перемножать их в случайном порядке? Будет ли определена скорость роста нормы такого случайного произведения, и какой она будет? Оказывается, даже если обе они эллиптические, то скорее всего произведение будет расти экспоненциально (кроме совсем уж вырожденных случаев, например, когда обе матрицы – повороты). Формальное утверждение об экспоненциальной скорости роста (положительности показателя Ляпунова) в этом случае называется теоремой Фюрстенберга. В серии работ с Виктором Клепцыным мы рассматриваем несколько обобщений этой теоремы. Одно из них связано с тем, что будет, если каждая из матриц зависит от параметра (это имеет отношение к спектральным свойствам операторов, связанных, скажем, с движением квантовой частицы в случайной среде). Другое отвечает на вопрос, что случится, если на каждом шагу следующий матрица-сомножитель выбирается случайно, но с какими-то другими вероятностями (или даже среди других матриц). Оказывается, понятие «скорости роста» вполне имеет смысл даже и этом случае, хотя и сложнее определяется. Всем этим результатам и будет посвящен доклад.

Пятница, 19 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
в ауд.310 Независимого Московского Университета на ОЧНОМ семинаре

Алексей Глуцюк

О семействах перемычек в модели перехода Джозефсона, изомонодромных деформациях и уравнении Пенлеве-3: доказательства.

В докладе будет рассказано о совместной работе с Юлией Бибило.
Эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости описывается семейством нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы обсудим его упрощенную версию (для так называемого сильно шунтированного перехода Джозефсона) – замечательное семейство уравнений первого порядка, встречающееся в разных областях математики, механики и физики. Это семейство зависит от двух параметров (В,А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В,А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность (аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения. Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста). Экспериментальный факт, обнаруженный В.М.Бухштабером, С.И.Тертычным, В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым, И.В.Щуровым, состоит в том, что в каждой зоне захвата с числом вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Рω. Это было частично доказано в совместной работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика. В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой.

В предыдущих двух докладах был сделан исторический обзор, представлен подготовительный материал из теории явления Стокса и намечено доказательство.

В настоящем докладе будет представлено доказательство первого шага, сведения к случаю малых частот, основанное на методе изомонодромных деформаций.

Если время позволит, будет кратко обсуждено доказательство для случая малых частот, методами теории быстро-медленных систем.

Весь подготовительный материал, необходимый для понимания, включая краткое введение в теорию изомонодромных деформаций,

будет представлен. Доклад будет доступен и тем, кто не был на двух предыдущих докладах.

Приглашаются все желающие!


Пятница, 12 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Алексей Клименко

Философия общности положения. Лемма Сарда и теорема Тома

Я расскажу об общности положения и лежащих в её основании строгих утверждениях — лемме Сарда и теореме Тома о трансверсальности.
Приглашаются все желающие, знакомы с понятием гладкого многообразия и касательного пространства.

Пятница, 5 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Дуков Андрей

Бифуркации в однопараметрических семействах

Ликбез по бифуркациям

5 и 12 февраля на нашем семинаре будет ликбез по бифуркациям.
5 февраля А. Дуков расскажет про бифуркации в однопараметрических семействах.
12.02 А. Клименко расскажет о лежащей в основе всей теории бифуркаций концепции общности положения.

Пятница, 11 декабря 2020, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Виктор Клепцын

Предельные объекты в теории случайных матриц с $\beta=\infty$
или
Магия случайных матриц при $\beta=\infty$
(совместная работа с Вадимом Гориным)

Abstract:
Можно взять случайную (в правильном смысле) симметрическую матрицу и посмотреть на её собственные значения. А можно случайную эрмитову. И можно даже случайную кватернионную. Получаются три разных постановки — с ответом, зависящим от размерности "пространства чисел", равной в этих трёх случаях \beta=1,2,4. Но на уровне формул вполне можно подставлять и другие (даже нецелые!) \beta. А что будет, если подставить \beta=\infty?

О том, что мы в этой задаче делали, и какие чудеса видели, я и буду рассказывать.


Пятница, 4 декабря 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Илья Мещихин и Станислав Минков

Динамические системы и разработка протеза ноги

Abstract:
Человеческое тело, рассматриваемое как динамическая система, устроено чрезвычайно сложно. Когда мы пытаемся моделировать человеческую походку, оказывается, что даже очень схематичные модели уже описываются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями. Поэтому возникает идея отказаться от моделей и зайти со стороны статистических данных. Это означает, что мы имеем дело с динамической системой (реальным человеком), которую не понимаем, но которую можем наблюдать. И по этим наблюдениям должны предсказать последующее поведение системы -- чтобы своевременно помочь.

После этого начинается большая работа по приложению математических понятий к нашему случаю. Например, по-видимому, размерность аттрактора является критерием удобства походки; предсказание следующего шага зависит от параметров модельной марковской сети, а внезапные проблемы с наибольшим показателем Ляпунова могут свидетельствовать о готовящейся смене типа движения.

О наших попытках предсказать походку с учётом всего этого и пойдёт речь на докладе.

Абстрактные математические концепции и теоремы используются нами скорее как маяки и ориентиры, поскольку мы имеем дело с конечным набором данных (а не с известной гладкой системой), так что доклад будет носить в значительной степени неформальный характер.


Пятница, 27 ноября 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Сергей Владимирович Гонченко

О трех типах динамики и динамического хаоса

Abstract:
Когда говорят о динамическом хаосе, обычно имеют в виду один из двух весьма разных типов динамики. В гамильтоновых системах наблюдается консервативный хаос, выглядящий в фазовом пространстве как «хаотическое море» с эллиптическими островами внутри него. Хаос в диссипативных системах имеет совсем другую природу, и он ассоциируется со странными аттракторами. Цель этого доклада – дать представление о еще одном, новом типе хаоса, так называемой смешанной динамике. Этот тип хаоса характеризуется прежде всего принципиальной неотделимостью друг от друга в фазовом пространстве аттракторов, репеллеров и консервативных элементов динамики (например, эллиптических точек, КАМ-кривых и т. п.). Тот факт, что в случае смешанной динамики аттракторы могут пересекаться с репеллерами, кажется, на первый взгляд, весьма странным и противоречащим здравому смыслу. В недавней работе с Д. Тураевым [1] мы сделали некоторую попытку разрешить это противоречие путем модификации понятия аттрактора, оставив за ним свойство «быть замкнутым инвариантным устойчивым множеством», но позволив ему пересекаться с репеллером по инвариантному множеству, так называемому обратимому ядру, которое ничего не притягивает и ничего не отталкивает. Сейчас хорошо известно, что смешанная динамика часто наблюдается в приложениях, и соответствующие примеры также будут рассмотрены в докладе.

[1] Гонченко С.В., Тураев Д.В. О трех типах динамики и понятии аттрактора // Труды МИАН, 2017. т. 297. С. 133-157.


Пятница, 13 ноября 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Илья Щуров

В эту пятницу состоится полугуманитарный доклад: я расскажу несколько историй, посвященных становлению хаотической динамики и теории динамических систем как полноправного и даже модного раздела науки.

Доклад основан на книге Джеймса Глика «Хаос. Создание новой науки» — сейчас выходит её издание на русском языке в издательстве Corpus (https://www.corpus.ru/products/dzhejms-glik-haos-sozdanie-novoj-nauki.htm), и я к этому изданию волею случая оказался причастен.

Книга представляет собой взгляд «с той стороны океана», если кто-то захочет добавить каких-нибудь исторических сюжетов «с этой стороны», будет здорово.

Приходите! :)


Пятница, 6 ноября 2020, начало в 19:00, онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Бертран Деруан (Bertrand Deroin, CNRS – IMPA, Rio de Janeiro – AGM, Cergy-Pontoise)

Dynamics of Jouanolou foliation

Abstract:
I will report on some joint work with Aurélien Alvarez, which shows that the Jouanolou foliation in degree two is structurally stable, and that it has a non trivial domain of discontinuity. This result is opposed to a series of results beginning in the sixties with the foundational works of Hudai-Verenov and Ilyashenko.


Пятница, 30 октября 2020, начало в 18:30, онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Андрей Духов

Кратности предельных циклов, рождающихся в типичных конечно-параметрических семействах

2-я часть доклада

Аннотация:
Доклад будет проходить онлайн. Рассмотрим произвольный гиперболический полицикл, возникающий в типичном конечно-параметрическом семейтстве. Вопрос: предельный цикл какой максимальной кратности может родиться при возмущении данного полицикла? В первой части доклада мы выяснили, что если в семействе рождается предельный цикл кратности m + 2, то существует нетривиальное решение некоторой полиномиальной системы из m уравнений. Тем, кто не слышал первую часть доклада, но собирается слушать вторую, крайне рекомендуется ознакомится с презентацией первой части, коя прикреплена к письму.

Вторая часть — сугубо алгебраическая. Мы будем исследовать полученную ранее полиномиальную систему и выясним, при каких услових она не имеет решения, что влечёт отсутствие предельного цикла большой кратности. Так как наш семинар, вообще говоря, не часто сталкивается с коммутативной алгеброй, то постараюсь подробнее расписать необходимые определения и элементы теории.


Пятница, 23 октября 2020, начало в 18:30,онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Андрей Духов

Кратности предельных циклов, рождающихся в типичных конечно-параметрических семействах

Аннотация:
Доклад будет проходить онлайн.

Рассмотрим произвольный полицикл, образованный гиперболическими сёдлами и возмутим его типичным конечно-параметрическим семейством. Вопрос: предельные циклы какой максимальной кратности могут родиться при разрушении данного полицикла? Оказывается, что ответ на данный вопрос можно дать в терминах характеристических чисел сёдел, образующих полицикл. Занимательно, что такая задача, сформулированная в терминах динамических систем, приводит к интересной теории, уходящей далеко в коммутативную алгебру.

Планируется, что доклад займёт два дня. Первая его часть пройдёт в ближайшую пятницу. Вторая же предварительно намечается на пятницу 30 октября. Первая часть доклада будет оперировать лишь терминами простейшего матанализа и динамических систем, поэтому никаких предварительных знаний не потребуется. Но вторая часть будет алгебраической. Для её понимания крайне рекомендуется прослушать первую часть!

P.S. Обращаем внимание, что первая часть состоится именно 23 октября несмотря на то, что ранее в сентябре ЮС говорил, что в данный день семинара не планируется. Ситуация изменилась.


онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru

Ю.С.Ильяшенко

Проблемы и гипотезы в глобальной теории бифуркаций на сфере

Аннотация:
В докладе будет дан обзор задач, связанных с (еще не существующим) доказательством структурной устойчивости типичных двупараметрических глокальных (объясню) семейств векторных полей на сфере. Будут предложены и другие проблемы. Я также расскажу доказательство леммы о седлоузловых семействах, которое смазал на предыдущем докладе и которое может быть полезно в дальнейшем.

Третьекурсников, планирующих работать под моим руководством, приглашаю обсудить со мной задачи для курсовых после семинара.



«Ликбез» по бифуркациям

По пятницам начиная с 02.10 с 17:30 в Zoom будет проходить «ликбез» по нелокальным бифуркациям (ориентированный, прежде всего, на студентов).
Его будут проводить Иван Шилин и Андрей Дуков. Планируется 3-4 занятия.

В пятницу 16 октября в 17:30 состоится заключительная часть ликбеза по бифуркациям.

Примерная программа:

  1. Бифуркация сепаратрисной петли.
  2. Бифуркация седлоузла с гомоклинической кривой.
  3. Мелькающие сепаратрисные связки при бифуркации сепаратрисной петли или полуустойчивого цикла.



Пятница, 2 октября 2020, начало в 19:00,

Алексей Глуцюк

О перемычках в модели перехода Джозефсона и уравнении Пенлеве - 3, II

Это - вторая часть доклада о совместной работе с Юлией Бибило. (Первая часть - предыдущий доклад 4 сентября).

Аннотация:
Эффект Джозефсона в сверхпроводимости состоит в том, что если два сверхпроводника, к которым подключено напряжение, разделены достаточно тонким слоем диэлектрика, то сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым Джозефсоном. Доклад посвящен его модели, в которой вышеупомянутое уравнение имеет тригонометрическую правую часть и эквивалентно семейству динамических систем на двумерном торе. Семейство зависит от двух параметров (В,А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В,А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность (аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения.

Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста).

Экспериментальный факт, обнаруженный В.М.Бухштабером, С.И.Тертычным, В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым, И.В.Щуровым состоит в том, что в каждой зоне захвата с числов вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Р\omega. Это было частично доказано в совместной работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика.

В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой. Доказательство состоит из двух частей:

1) Сведение к случаю сколь угодно малых частот, основанное на связи с линейными уравнениями на сфере Римана, изомонодромными деформациями и их описании (для данного случая) с помощью решений уравнений Пенлеве 3.

2) Доказательство основных результатов для сколь угодно малых частот с помощью методов теории быстро-медленных систем.

Мы подробно обсудим шаг 1), являющийся основным.


Пятница, 25 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401

Станислав Минков и Иван Шилин

Аттракторы прямых произведений

Аннотация:
Прямые произведения выглядят как конструкция, от которой не стоит ожидать подвоха. Может показаться, что аттрактор прямого произведения всегда должен быть равен прямому произведению аттракторов. Однако для милноровских, статистических и минимальных аттракторов это не так. Мы продемонстрируем соответствующие примеры гладких векторных полей, а также обсудим, как добиться аналогичного эффекта для SRB-мер.


Пятница, 18 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401

Станислав Минков и Иван Шилин

Введение в теорию аттракторов

Аннотация:
Мы дадим определения максимальных аттракторов, аттракторов Милнора, статистических и минимальных атттракторов, обсудим их свойства, а также разберем примеры, показывающие, что эти аттракторы могут не совпадать. Пример несовпадения статистического и минимального аттракторов, построенный В. Клепцыным, непосредственно связан с сюжетом об аттракторах прямых произведений, который будет рассказан через неделю.


Пятница, 11 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401

Юлий Сергеевич Ильяшенко

Ростки бифуркационных диаграмм и семейства седлоузел - седлоузел

Аннотация:
Бифуркационные диаграммы типичных однопараметрических локальных семейств векторных полей на плоскости бывают только двух типов: точка и монотонная последовательность. Оказывается, что в типичных двупараметрических локальных семействах множество различных бифуркационных диаграмм очень богато, и в частности счетно. Это будет объяснено на примере возмущения векторного поля с одной седлоузловой особой точкой и одним полуустойчивым циклом. Будет доказана структурная устойчивость таких возмущений. При этом возникают общие методы, которые (можно надеяться) позволяют доказывать структурную устойчивость семейств, когда она есть. Большая часть доклада будет доступна для начинающих. В конце будут сформулированы проблемы разной степени трудности.


Пятница, 4 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401

Алексей Глуцюк

О перемычках в модели перехода Джозефсона и уравнении Пенлеве - 3

Аннотация:
В докладе будет рассказано о совместной работе с Юлией Бибило.

Эффект туннелирования в сверхпроводимости, открытый Б.Джозефсоном в 1960-е гг. (Нобелевская премия по физике за 1973 г) относится к системе двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем диэлектрика (называемой Джозефсоновским переходом). Он состоит в том, что если слой диэлектрика достаточно тонок и к сверхпроводникам подключено напряжение, то сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым Джозефсоном. Эффект Джозефсона описывается семейством нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы обсудим его упрощенную версию (для так называемого сильно шунтированного перехода Джозефсона) - замечательное семейство уравнений первого порядка, встречающееся в разных областях математики, механики и физики. Оно имеет тригонометрическую правую часть и эквивалентно семейству динамических систем на двумерном торе. Семейство зависит от двух параметров (В,А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В,А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность (аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения. Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста). Экспериментальный факт, обнаруженный В.М.Бухштабером, С.И.Тертычным, В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым, И.В.Щуровым состоит в том, что в каждой зоне захвата с числов вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Р\omega. Это было частично доказано в совместной работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика. В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой. Доказательство основано на связи с линейными уравнениями на сфере Римана, изомонодромными деформациями, уравнением Пенлеве 3 и быстро-медленными системами.

Приглашаются все желающие!