На главную страницу МЦНМО-НМУ

А.М.Вербовецкий, И.С.Красильщик

Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений

В весеннем семестре 2020-2021 года продолжит работу семинар «Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.

Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.

Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.

Программа ближайших заседаний семинара И.С.Красильщика по геометрии дифференциальных уравнений в Независимом университете.

Мы приглашаем вас на семинар и настоятельно призываем к активному участию: не стесняйтесь предлагать свои доклады и интересных вам докладчиков.

C 15 октября, в связи с возвращением НМУ к дистанционной работе, дальнейшие семинары будут проходить только в Зуме, Meeting ID: 88 17 12 1842.
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org

ВЕСНА 2021

24 февраля 2021 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: В.В. Соколов
Тема: Non-Abelian generalizations of integrable PDEs and ODEs

A general procedure for nonabelinization of given integrable polynomial differential equation is described. We consider NLS type equations as an example. We also find nonabelinizations of the Euler top and of the Painleve-2 equation.

17 февраля 2021 (среда), 19:20, в Zoom: Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: П.Е. Пушкарь
Тема: Morse theory, Bruhat cells and Unitriangular geometry

Язык доклада: английский

Strong Morse function is a Morse function with pairwise different critical values. For such a function we construct a collection of numbers, which is a (smooth) topological invariant of the strong Morse function.

Algebraically our construction is a close relative of the construction of Bruhat cells and belongs to Unitriangular geometry. We will present a generalization of determinant of any linear map between finite dimensional vector spaces.

Talk based on a joint work with Misha Temkin.

10 февраля 2021 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: А.В. Самохин
Тема: On monotonic pattern in periodic boundary solutions of cylindrical and spherical Kortweg-de Vries-Burgers equations

Язык доклада: английский

We studied, for the Kortweg-de Vries Burgers equations on cylindrical and spherical waves, the development of a regular profile starting from an equilibrium under a periodic perturbation at the boundary.

The regular profile at the vicinity of perturbation looks like a periodical chain of shock fronts with decreasing amplitudes. Further on, shock fronts become decaying smooth quasi periodic oscillations. After the oscillations cease, the wave develops as a monotonic convex wave, terminated by a head shock of a constant height and equal velocity. This velocity depends on integral characteristics of a boundary condition and on spatial dimensions.

The explicit asymptotic formulas for the monotonic part, the head shock and a median of the oscillating part are found.

3 февраля 2021 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: В.Н. Четвериков
Тема: Coverings and multivector pseudosymmetries of differential equations

Язык доклада: английский

Finite-dimensional coverings from systems of differential equations are investigated. This problem is of interest in view of its relationship with the computation of differential substitution, nonlocal symmetries, recursion operators, and Bäcklund transformations. We show that the distribution specified by the fibers of a covering is determined by an integrable pseudosymmetry of the system. Conversely, every integrable pseudosymmetry of a system defines a covering from this system. The vertical component of the pseudosymmetry is a matrix analog of the evolution differentiation. The corresponding generating matrix satisfies a matrix analog of the linearization of the equation. We consider also the exterior product of vector fields defining a pseudosymmetry. The definition of pseudosymmetry is rewritten in the language of the Schouten bracket of multivector fields and total derivatives with respect to the independent variables of the system. A method for constructing coverings is given and demonstrated by the examples of the Laplace equation and the Kapitsa pendulum system.

ОСЕНЬ 2020

23 декабря 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: Б.С. Кругликов
Тема: Dispersionless integrable hierarchies and GL(2) geometry
(joint work with Evgeny Ferapontov)

Язык доклада: английский

Paraconformal or GL(2) geometry on an n-dimensional manifold M is defined by a field of rational normal curves of degree n - 1 in the projectivized cotangent bundle PT*M. In dimension n=3 this is nothing but a Lorentzian metric. GL(2) geometry is known to arise on solution spaces of ODEs with vanishing Wünschmann invariants.

We show that GL(2) structures also arise on solutions of dispersionless integrable hierarchies of PDEs such as the dispersionless Kadomtsev-Petviashvili (dKP) hierarchy. In fact, they coincide with the characteristic variety (principal symbol) of the hierarchy. GL(2) structures arising in this way possess the property of involutivity. For n=3 this gives the Einstein-Weyl geometry.

Thus we are dealing with a natural generalization of the Einstein-Weyl geometry. Our main result states that involutive GL(2) structures are governed by a dispersionless integrable system whose general local solution depends on 2n - 4 arbitrary functions of 3 variables. This establishes integrability of the system of Wünschmann conditions.

16 декабря 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: И.В. Хавкин
Тема: Killing compatibility complex on Kerr spacetime

Язык доклада: английский

The Killing operator K_{ab}[v] = \nabla_a v_b + \nabla_b v_a on a Lorentzian spacetime (M,g) plays an important role in General Relativity (GR): it generates infinitesimal gauge symmetries of the theory. Gauge symmetry invariants play the role of physical observables. In PDE language, this translates to the following: the components of a compatibility operator for K_{ab} generate all local observables for linearized GR on the background (M,g). In https://arxiv.org/abs/1910.08756 we have explicitly constructed such a compatibility operator (indeed, a full compatibility complex) on the astrophysically interesting Kerr spacetime of a rotating black hole. I will motivate and explain our approach and describe the complexity of the construction.

9 декабря 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: А.В. Михайлов
Тема: Quantisation ideals of nonabelian integrable systems

Язык доклада: английский

In my talk I'll discuss a new approach to the problem of quantisation of dynamical systems, introduce the concept of quantisation ideals and show meaningful examples. Traditional quantisation theories start with classical Hamiltonian systems with dynamical variables taking values in commutative algebras and then study their non-commutative deformations, such that the commutators of observables tend to the corresponding Poisson brackets as the (Planck) constant of deformation goes to zero. I am proposing to depart from systems defined on a free associative algebra. In this approach the quantisation problem is reduced to a description of two-sided ideals which define the commutation relations (the quantisation ideals) in the quotient algebras and which are invariant with respect to the dynamics of the system. Surprisingly this idea works rather efficiently and in a number of cases I have been able to quantise the system, i.e. to find consistent commutation relations for the system. To illustrate this approach I'll consider the quantisation problem for the non-abelian Bogoyavlensky N-chains and other examples, including quantisation of nonabelian integrable ODEs on free associative algebras.

The talk is based on: AVM, Quantisation ideals of nonabelian integrable systems, arXiv preprint https://arxiv.org/abs/2009.01838, 2020 (Published in Russ. Math. Surv. v.75:5, pp 199-200, 2020).

2 декабря 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е, Meeting ID: 88 17 12 1842
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: В.Н. Рубцов
Тема: Вещественные операторы Монжа-Ампера и (почти)комплексные структуры

Язык доклада: английский

We observe some interesting geometric structures which are naturally linked with the geometric approach to Monge-Ampère operators developed by Lychagin in late 70th.

Among them are: (almost) complex, (almost) product, generalized complex, hyperkahler, hypersymplectic and many other geometric structures.

I hope (if I have time) to show few interesting examples of its applications.

25 ноября 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е
Passcode можно узнать по почте seminar@gdeq.org
Докладчик: В.В. Лычагин
Тема: Differential equations, their symmetries, invariants and quotients

Язык доклада: английский

We'll discuss quotients of PDEs by their symmetry algebras and show their applications for integrations.

18 ноября 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е - Passcode: 1842
Докладчик: А.С. Лосев
Тема: Tau theory, d=10 N=1 SUSY and BV

Язык доклада: английский

См. на сайте https://gdeq.org/Losev

11 ноября 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е - Passcode: 1842
Докладчик: Pierandrea Vergallo
Тема: Hydrodynamic-type systems and homogeneous Hamiltonian operators: a necessary condition of compatibility

Язык доклада: английский

Using the theory of coverings, it is presented a necessary condition to write a hydrodynamic-type system in Hamiltonian formulation. Explicit conditions for first, second and third order homogeneous Hamiltonian operators are shown. In particular, an alternative proof of Tsarev's theorem about compatibility conditions for first order operators is obtained by using this method.

Then, analogous conditions are presented for non local homogeneous Hamiltonian operators of first and third order.

Finally, it is discussed the projective invariance for second and third order operators.

The talk is based on joint work with Raffaele Vitolo https://arxiv.org/abs/2007.15294

4 ноября 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е - Passcode: 1842
Докладчик: М.Б. Шефтель
Тема: Nonlocal symmetry of CMA generates ASD Ricci-flat metric with no Killing vectors

Язык доклада: английский

The complex Monge-Ampère equation (CMA) in a two-component form is treated as a bi-Hamiltonian system. I present explicitly the first nonlocal symmetry flow in each of the two hierarchies of this system. An invariant solution of CMA with respect to these nonlocal symmetries is constructed which, being a noninvariant solution in the usual sense, does not undergo symmetry reduction in the number of independent variables. I also construct the corresponding 4-dimensional anti-self-dual (ASD) Ricci-flat metric with either Euclidean or neutral signature. It admits no Killing vectors which is one of characteristic features of the famous gravitational instanton K3.

21 октября 2020 (среда), 19:20, в Zoom'е - Passcode: 1842
Докладчик: Markus Dafinger
Тема: A converse to Noether's theorem

Язык доклада: английский

The classical Noether's theorem states that symmetries of a variational functional lead to conservation laws of the corresponding Euler-Lagrange equation. It is a well-known statement to physicists with many applications. In the talk we investigate a reverse statement, namely that a differential equation which satisfies sufficiently many symmetries and corresponding conservation laws leads to a variational functional whose Euler-Lagrange equation is the given differential equation. The aim of the talk is to provide some background of the so-called inverse problem of the calculus of variations and then to discuss some new results, for example, how to prove the reverse statement.

30 сентября 2020 (среда), 19:20, ауд.303 и в Zoom'е по ссылке
Докладчик: И.С. Красильщик
Тема: Nonlocal conservation laws of PDEs possessing differential coverings

Язык доклада: английский

In his 1892 paper "Sulla trasformazione di Bäcklund per le superfici pseudosferiche" (Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 5, v. 1 (1892) 2, pp. 3-12; Opere, vol. 5, pp. 163-173) Luigi Bianchi noticed, among other things, that quite simple transformations of the formulas that describe the Bäcklund transformation of the sine-Gordon equation lead to what is called a nonlocal conservation law in modern language. Using the techniques of differential coverings [I.S. Krasil'shchik, A.M. Vinogradov, Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bäcklund transformations, Acta Appl. Math. 15 (1989) 161_209], we show that this observation is of a quite general nature. We describe the procedures to construct such conservation laws and present a number of illustrative examples.

Ref.: https://arxiv.org/abs/2009.09489

ВЕСНА 2020

Совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание пройдёт онлайн в Zoom 22 июня (понедельник) в 15:00.

22 июня (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/836 4920 8706
Идентификатор конференции: 836 4920 8706

Докладчик: О.И. Морозов
Тема: Lax representations via extensions and deformations of Lie symmetry algebras
Язык доклада: английский

The challenging problem in the theory of integrable partial differential equations is to find conditions that are formulated in inherent terms of a PDE under study and ensure existence of a Lax representation. The talk will present the technique for constructing Lax representations via extensions of the contact symmetry algebras of PDEs. Also I will show examples that use deformations of infinite-dimensional Lie algebras for searching new integrable PDEs.

15 июня (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/84025003593
Идентификатор конференции: 840 2500 3593

Докладчик: О.М. Худавердян
Тема: Нелинейные гомоморфизмы и толстые морфизмы
Язык доклада: английский

В 2014 ом году Ф. Воронов ввёл формализм толстых морфизмов. Построенный им формализм даёт общую конструкцию L_\infty-морфизмов для гомотопически пуассоновых многообразий. Обратный образ обычных отображений это гомоморфизм алгебры функций. Толстые морфизмы, вообще говоря, отображениями не являются, и обратный образ толстого морфизма задаёт, вообще говоря, нелинейное отображение 'назад' алгебры функций. Однако ж, как было замечено Вороновым, дифференциал этих отображений уже является обычными гомоморфизмом. Отображения алгебр функций дифференциал которых является гомоморфизмом было предложено называть "нелинейными гомоморфизмами". Вороновым была высказана гипотеза, что это условие полностью характеризует толстые морфизмы, то есть любой нелинейный гомоморфизм алгебры функций есть обратный образ некоего толстого морфизма. Эта гипотеза доказана в классе формальных функционалов. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2006.03417

8 июня (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/87266389715
Идентификатор конференции: 872 6638 9715

Докладчик: И.А. Боброва
Тема: О втором уравнении Пенлеве и его высших аналогах
Язык доклада: английский

Шесть уравнений Пенлеве были получены Полем Пенлеве и его школой в ходе классификации обыкновенных дифференциальных уравнений вида w''=P(z,w,w'), где функция P(z,w,w') является многочленом по переменным w и w', а по переменной z - аналитической функцией, решения которых не имеют неподвижных особенностей. Эти уравнения имеют широкое применение в физике и красивую математическую структуру. Доклад будет посвящён одному из этих уравнений, а именно второму уравнению Пенлеве.

В ходе доклада мы покажем, что PII является интегрируемым уравнением, предъявив гамильтониан системы в переменных Кадзуо Окамото. Также это уравнение является интегрируемым в смысле Лакса и имеет соответствующую изомонодромную задачу. Другим интересным вопросом является преобразование Бэклунда и действие аффинной группы Вейля, при помощи которых можно получать различные рациональные решения для целых значений параметра PII. У этого уравнения имеются ещё одно важное представление в виде \sigma-координат, которые оказываются log-симплектическими. В силу наличия пары Лакса, у второго уравнения Пенлеве имеются старшие аналоги, которые мы получим при помощи редукции иерархии модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза.

1 июня (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/88481953966 Идентификатор конференции: 884 8195 3966

Докладчик: Aleks Kleyn
Тема: System of differential equations over quaternion algebra
Язык доклада: английский

The talk is based on the file https://gdeq.org/files/Aleks_Kleyn-2020.06.01.English.pdf

In order to study homogeneous system of linear differential equations, I considered vector space over division D-algebra and the theory of eigenvalues in non commutative division D-algebra. I started from section 1 dedicated to product of matrices. Since product in algebra is non-commutative, I considered two forms of product of matrices and two forms of eigenvalues (section 4). In sections 5, 6, 7, I considered solving of homogeneous system of differential equations. In the section 8, I considered the system of differential equations which has infinitely many fundamental solutions. Following sections are dedicated to analysis of solutions of system of differential equations. In particular, if a system of differential equations has infinitely many fundamental solutions, then each solution is envelope of a family of solutions of considered system of differential equations.

25 мая (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/87143213949
Идентификатор конференции: 871 4321 3949

Докладчик: С.Н. Тычков
Тема: Continuum mechanics of media with inner structures dissipation and/or dispersion media
Язык доклада: английский

We propose a geometrical approach to the mechanics of continuous media equipped with inner structures and give the basic equations of their motion: the mass conservation law, the Navier-Stokes equation and the energy conservation law. This is a joint work with Anna Duyunova and Valentin Lychagin.

18 мая (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/87679998601
Идентификатор конференции: 876 7999 8601

Докладчик: А.В. Самохин
Тема: Using the KdV conserved quantities in problems of splitting of initial data and reflection / refraction of solitons in varying dissipation and/or dispersion media
Язык доклада: английский

An arbitrary compact-support initial datum for the Korteweg-de Vries equation asymptotically splits into solitons and a radiation tail, moving in opposite direction. We give a simple method to predict the number and amplitudes of resulting solitons and some integral characteristics of the tail using only conservation laws.

A similar technique allows to predict details of the behavior of a soliton which, while moving in non-dissipative and dispersion-constant medium encounters a finite-width barrier with varying dissipation and/or dispersion; beyond the layer dispersion is constant (but not necessarily of the same value) and dissipation is null. The process is described with a special type generalized KdV-Burgers equation u_t=(u^2+f(x)u_{xx})_x.

The transmitted wave either retains the form of a soliton (though of different parameters) or scatters a into a number of them. And a reflection wave may be negligible or absent. This models a situation similar to a light passing from a humid air to a dry one through the vapor saturation/condensation area. Some rough estimations for a prediction of an output are given using the relative decay of the KdV conserved quantities; in particular a formula for a number of solitons in the transmitted signal is given.

11 мая (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/89788335909
Идентификатор конференции: 897 8833 5909

Докладчик: В.А. Юмагужин
Тема: Invariants of forth order linear differential operators

The report is devoted to linear scalar differential operators of the fourth order on 2-dimensional manifolds. The field of rational differential invariants of such operators will be described and their application to the equivalence problem with respect to the group of diffeomorphisms of the manifold will be shown.

Although the talk will be in Russian, the slides will be in English and the discussion will be in both languages.

4 мая (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/89788335909
Идентификатор конференции: 897 8833 5909

Докладчик: В.В. Лычагин
Тема: On structure of linear differential operators of the first order

We'll discuss the equivalence problem (local as well as global) for linear differential operators of the first order, acting in vector bundles.

The slides will be in English and if preferred by anyone in the audience the talk itself can be switched from Russian to English.

27 апреля (понедельник) в 15:00 пройдёт совместное с семинаром лабораторий 6 и 82 ИПУ РАН заседание онлайн в Zoom :

Подключение к конференции Zoom: https://us02web.zoom.us/j/82909135111
Идентификатор конференции: 829 0913 5111

Докладчик: М.Д. Рооп
Тема: Ударные волны в течениях газов, описываемых уравнениями Эйлера

Рассмотрены нестационарные одномерные течения газов, которые описываются уравнениями Эйлера. Соответствующая система дифференциальных уравнений представляется с помощью дифференциальных 2-форм на пространстве 0-джетов, находятся некоторые точные многозначные решения. Для найденных многозначных решений приводится метод построения каустик, а также фронта ударной волны. Метод применим для произвольного термодинамического состояния газа и произвольного процесса, в котором участвует газ. Метод иллюстрируется на адиабатических течениях идеальных газов.


18 марта семинар не состоится в связи с приостановкой всех очных занятий в Независимом Университете.

4 марта 2020 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ian Marshall
Тема: Action-Angle Duality for a Poisson-Lie Deformation of the Trigonometric BC_n Sutherland System

Язык доклада: английский

The property of action-angle duality was first brought to light in a systematic way by Ruijsenaars. The method of Hamiltonian reduction reveals a natural mechanism for how such a phenomenon can arise. I will give a general overview of this and present as a special case the new result, obtained together with L'aszl'o Feh'er, referred to in the title.

12 февраля 2020 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ю.Л. Сачков
Тема: Periodic controls in step 2 strictly-convex sub-Finsler problems

Язык доклада: английский

We consider control-linear left-invariant time-optimal problems on step 2 Carnot groups with strictly convex set of control parameters (in particular, sub-Finsler problems).

We describe all linear-in-momenta Casimirs on the dual of the Lie algebra.

In the case of rank 3 Lie groups we describe the symplectic foliation on the dual of the Lie algebra. On this basis we show that extremal controls are either constant or periodic.

Some related results for other Carnot groups are presented.

The talk is based on the paper https://arxiv.org/abs/1910.04740

5 февраля 2020 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: К.П. Дружков
Тема: Noether's theorem for diffeties

Язык доклада: английский

We will discuss how Noether's theorem for a system of Euler-Lagrange equations can be reformulated in terms of the corresponding diffiety. The possibility of such reformulating leads to the fact that the Noether's correspondence between symmetries and conservation laws can be lifted to coverings. After that I'll try to tell about a solution of the local inverse problem of the calculus of variations for regular systems of equations of the generalized Kovalevskaya form.

ОСЕНЬ 2019

18 декабря 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.В. Павлов
Тема: Бигамильтоновы системы гидродинамического типа и их локальные лагранжевы представления

Хорошо известно, что если система гидродинамического типа является гамильтоновой, причём соответствующая скобка Пуассона типа Дубровина-Новикова, то для такой системы можно предложить стандартное локальное лагранжево представление, линейное по первым производным по времени.

В докладе будет показано, что если система гидродинамического типа бигамильтонова, причём обе скобки Пуассона типа Дубровина-Новикова, то для такой системы можно предложить четыре локальных лагранжевых представления.

Более того, верен следующий результат:
если система гидродинамического типа имеет $М$ локальных гамильтоновых структур, причём соответствующие скобки Пуассона типа Дубровина-Новикова, то для такой системы можно предложить $М^2$ локальных лагранжевых представлений.

11 декабря 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Н. Рубцов
Тема: Тождество Фея: от Математической Физики через Геометрию к Теории Чисел

We give a survey of various avatars of the trisecant Fay identity which appear in the context of Integrable systems (as forms of the Associative Yang-Baxter Equation) and as conditions on generating functions for period polynomials of (quasi-)modular forms and group cocycle conditions for some multiparametric modular groups.

20 ноября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: К.П. Дружков
Тема: Обобщение обратной задачи вариационного исчисления. Полное решение

В докладе будет рассматриваться обобщение обратной задачи вариационного исчисления и его решение.

Под обобщением обратной задачи вариационного исчисления для регулярной системы дифференциальных уравнений F = 0 будет пониматься задача описания всех линейных дифференциальных операторов A в полных производных, таких что для некоторого лагранжиана L выполнено A(F) = E(L), где E - оператор Эйлера. Такие операторы A в докладе будут называться вариационными для исходной системы уравнений. Оказывается, задача их построения сводится к задаче построения законов сохранения специального вида для другой системы уравнений, естественным образом связанной с исходной.

Будет показано, что вариационные операторы регулярной системы могут быть описаны в терминах когомологий некоторого комплекса на соответствующем ей диффеотопе. Это приводит к некоторым интересным следствиям, о которых в докладе также пойдёт речь.

Все доказательства, полученные в рамках решения этой задачи - конструктивные. Будет предъявлен конкретный алгоритм построения для заданной регулярной системы уравнений всех её вариационных операторов фиксированного порядка. Алгоритм основан на возможности описания некоторых членов C-спектральной последовательности как в терминах внешних форм, так и в терминах операторов.

6 ноября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.В. Павлов
Тема: Бигамильтоновые системы гидродинамического типа

Мы рассматриваем бигамильтоновые системы гидродинамического типа с точки зрения классической дифференциальной геометрии, и обсуждаем открытые задачи.

В инвариантах Римана, эта задача сводится к интегрируемым системам, коэффициенты линейных пар Лакса которых явно зависят от независимых переменных. То есть, такие задачи принадлежат к более сложному классу интегрируемых систем, чем такие известные системы уравнений как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера и другие...

30 октября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И. Морозов
Тема: Обобщённое уравнение Хантера-Сакстона: структуры, связанные с интегрируемостью

В докладе будут рассмотрены структуры, связанные с интегрируемостью обобщённого уравнения Хантера-Сакстона. В частности, будет предъявлено представление Лакса с неустранимым параметром, локальные операторы рекурсии первого порядка для симметрий и косимметрий и алгебра Ли высших симметрий, порождённая с помощью операторов рекурсии из контактных симметрий. Кроме того, будет показан пример построения решения, инвариантного относительно высшей симметрии.

16 октября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Б.С. Кругликов
Тема: Интегрируемость бездисперсионных уравнений в размерностях 3 и 4: различные подходы

В докладе я сперва расскажу о совместной работе с Д.Кальдербанком, где мы доказываем эквивалентность существования пары Лакса в векторных полях и твисторного подхода для общих уравнений с квадратичным характеристическим многообразием. Это объясняет почему максимальная размерность для невырожденных интегрируемых уравнений может быть 4. Я вкратце обсужу, что происходит в больших размерностях.

Затем я расскажу о классе уравнений, возникающих в связи с подмногообразиями грассмановой геометрии, предоставлю классификацию интегрируемых систем в этом классе и обсужу различия размерностей 3 и 4 в этом контексте. Здесь интегрируемость понимается в смысле гидродинамических редукций. Эта работа выполнена в соавторстве с Б.Дубровым, В.Новиковым и Е.Ферапонтовым.

9 октября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Л.В. Локуциевский
Тема: Выпуклая тригонометрия в задачах с двумерным управлением

На докладе я расскажу о новом удобном методе описания плоских выпуклых компактных множеств и их поляр, обобщающем классические тригонометрические функции cos и sin. Свойства этой пары функций в случае единичного круга наследуются двумя парами функций cos_\Omega, sin_\Omega и \cos_{\Omega^\circ}, \sin_{\Omega^\circ} - для самого множества \Omega и его поляры \Omega^\circ. Этот метод оказался очень полезным для явного описания решений задач оптимального управления с двумерным управлением. С его помощью в 2018 г. удалось явно найти геодезические в серии субфинслеровых задач для случаев Гейзенберга, Грушина, Мартине, Энгеля и Картана. В 2019 совместно с Ю.Л. Сачковым и А.А. Ардентовым удалась явно решить еще более 10 классических задач. Например, на докладе я расскажу о финслеровых геодезических на плоскости Лобачевского.

2 октября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Н.А. Стрижова
Тема: Гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности

В докладе изучаются уравнения ассоциативности, которые называют также системами уравнений Виттена-Дейкхрафа-Г.Верлинде-Э.Верлинде. Будет представлена полная классификация уравнений ассоциативности в случае трёх примарных полей относительно наличия структуры Дубровина-Новикова первого порядка. Также мы рассматриваем редукции уравнений ассоциативности на множество стационарных точек интеграла в случае трех примарных полей. Доклад основан на совместной работе с О.И. Моховым.

25 сентября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В. Лычагин
Тема: On equivalence of linear differential operators, acting in line bundles

We'll discuss natural differential invariants of linear differential operators and use them to find conditions for global equivalence of the differential operators with respect to automorphism groups.

18 сентября 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.М. Худавердян (Manchester, UK)
Тема: Толстые морфизмы и квантовая механика

Обратный образ относительно произвольного отображения двух (супер)пространств есть линейное отображение алгебр функций на этих пространствах.

В 2014-ом году Ф.Ф.Воронов ввёл так называемые толстые морфизмы, как естественное средство описания L_\infty морфизмов алгебр функций со структурой гомотопических пуассоновских алгебр.

Вороновым был введён специальный геометрический объект S, задающий толстый морфизм.

Оказывается, что если "спуститься с небес на землю" и рассматривать обычные (не супер!) многообразия, и вместо толстых морфизмов рассматривать толстые диффеоморфизмы, то мы придём к конструкциям, которые имеют естественную интерпретацию в классической и квантовой механике.

В частности в этом случае геометрический объект S, который управляет толстыми диффеоморфизмами превращается в обычное действие классической механики, и обратный образ толстого диффеоморфизма получает естественную интерпретацию в терминах дифференциального уравнения Гамильтона-Якоби, соответствующего этому действию. Наиболее интересно, что толстые морфизмы, соответствующие квадратичному действию, приводят к спинорому представлению.

Доклад основан на моей работе совместной с Фёдором Вороновым: https://arxiv.org/abs/1909.00290

ВЕСНА 2019

15 мая 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: П.М. Ахметьев
Тема: Field line helicity и второй момент асимптотического коэффициента зацепления магнитных линий

В 1974 году В.И.Арнольд определил функцию распределения m асимптотического коэффициента зацеплений магнитных линий (это- инвариантная величина для идеальной МГД) и написал, что этим уточняется оценка магнитной энергии через магнитную спиральность (среднее попарных коэффициентов зацепления магнитных линий). Понятие Field line helicity появилось около 10 лет тому назад в работах физиков (Hornig, Yeates). В работе докладчика (2012) определено понятие квадратичной спиральности. Квадратичная спиральность - это дисперсия свёртки функции распределения m по одной из пары магнитных линий и это - L^2-норма функции Field line helicity. Field line helicity применяется в относительной разновидности для исследования свойств бессиловых магнитных полей, в частности, поля в короне Солнца.

Цель доклада - обсудить, в каком смысле квадратичная спиральность является локальным инвариантом и как её можно вычислить на пространстве джетов наблюдаемых магнитных полей. Из этого получается два следствия. Во-первых локальную формулу удаётся выписать для потока квадратичной спиральности, тем самым, вычислить скорость изменения квадратичной спиральности при наличии магнитной диссипации. Это оценивает число пересоединений магнитных линий и вариацию Field line helicity в неидеальной МГД. Во-вторых можно перейти к турбулентности, поскольку квадратичную спиральность удаётся определить на колмогоровском спектре магнитного поля.

Результаты получены с А.Ю.Смирновым и Diego Cirilo-Lombardo.

17 апреля 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: И.Ю. Гаюр
Тема: Дуальность Руйсенарса в многочастичных аналогах уравнений Пенлеве

Доклад посвящён дуальности, возникающей в многочастичных аналогах уравнений Пенлеве введённых K.Takasaki. В недавней работе M.Bertola, M.Cafasso и В.Рубцов получили изомонодромное описание для данных систем с использованием процедуры гамильтоновой редукции. В докладе я расскажу о данной редукции, в качестве простейшего примера будет рассмотрена самодуальная рациональная модель Калоджеро-Мозера. В продолжении будут введены основные понятия теории уравнений Пенлеве и изомонодромных деформаций, а также классического соответствия Калоджеро-Пенлеве для 2-частичных систем. Далее будет показано, как данное соответствие может быть расширено на случай многочастичных систем, используя процедуру гамильтоновой редукции для матричных аналогов уравнений Пенлеве, и какие дуальные системы возникают в ходе применения данной процедуры к матричным уравнениям Пенлеве. В конце я обсужу, как многочастичное соответствие Калоджеро-Пенлеве может быть связано с редукциями матричных интегрируемых уравнений в частных производных на примере матричного уравнения mKdV. Совместная работа с В.Рубцовым.

10 апреля 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo
Тема: Three computational approaches to weakly nonlocal Poisson brackets
Язык доклада: английский

Poisson brackets for conserved quantities are quite common in the theory of integrable PDEs. A vast amount of them is defined through nonlocal (pseudodifferential) operators. Such operators make the task of checking the Jacobi identity particularly difficult. In this seminar we will propose and compare three different ways of checking the Jacobi identity for weakly nonlocal Poisson brackets using the theory of distributions, of pseudodifferential operators and of Poisson vertex algebras, respectively. We will show that the three approaches lead to the same computations and results. Joint work with M. Casati, P. Lorenzoni.

3 апреля 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Н.А. Стрижова
Тема: О гамильтоновой геометрии уравнений ассоциативности и их редукций

В докладе изучается гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности (уравнений Виттена-Дейкхрафа-Верлинде-Верлинде). В докладе будет представлена полная классификация уравнений ассоциативности в случае трёх примарных полей относительно наличия гамильтонова оператора Дубровина-Новикова первого порядка. Также мы рассматриваем канонически гамильтоновы редукции уравнений ассоциативности в случае трёх и четырёх примарных полей.

27 марта 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.В. Аксенов
Тема: Инвариантное свойство функции Римана и метод её построения

Применительно к частному гиперболическому уравнению второго порядка с двумя независимыми переменными, Б.Риман предложил "метод интегрирования Римана". Для применения метода необходимо построить функцию Римана, являющуюся решением специальной характеристической задачи Коши. Общего метода построения функции Римана не существует. Показана инвариантность функции Римана относительно симметрий фундаментальных решений и предложен метод её построения.

20 марта 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Г.И. Шарыгин
Тема: Гомологические препятствия для квантования коммутативных семейств функций и действий алгебр Ли

Я расскажу о том, какие когомологические препятствия существуют для решения задачи о продолжении семейства коммутирующих (относительно скобки Пуассона) функций на некотором пуассоновом многообразии до семейства коммутирующих элементов в деформационном квантовании этого многообразия. Эта задача тесно связана с вопросом продления действия алгебры Ли на этом многообразии до действия этой же алгебры на деформированной (квантованной) алгебре её функций, о которой я тоже расскажу, а также о том, как эти две задачи связаны между собой. В конце я выскажу гипотезу о том, во что превращаются эти когомологические препятствия в случае симплектического многообразия.

13 марта 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.В. Павлов
Тема: Новый класс интегрируемых систем уравнений и их частные решения

Рассматривается новый объект - интегрируемая негидродинамическая цепочка, связанная с иерархией dKP (бездисперсионный предел уравнения Кадомцева-Петвиашвили).

Обсуждаются многокомпонентные редукции этой цепочки уравнений. В простейшем (одно-компонентном) случае предъявлено решение, заданное с произволом в одну функцию одного аргумента.

6 марта 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И. Морозов
Тема: Представления Лакса, интегрируемые иерархии и нецентральные расширения алгебр симметрий нелинейных дифференциальных уравнений

Доклад будет посвящён технике нахождения представлений Лакса нелинейных дифференциальных уравнений с помощью нецентральных расширений их алгебр симметрий, порождённых нетривиальными экзотическими 2-коциклами.
Примеры будут включать представления Лакса с неустранимым параметром и интегрируемые иерархии, связанные с некоторыми дифференциальными уравнениями.

Заседание семинара 20 февраля отменяется.

13 февраля 2019 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Григорьев
Тема: Супергеометрия калибровочных УЧП

We study (super)geometry of gauge PDE paying particular attention to globally well-defined definitions and equivalence of such objects. Gauge PDE is a notion that arises by abstracting what physicists call a local gauge field theory (not necessarily Lagrangian) defined in terms of BV-BRST differential. It gives a natural setup for studying global symmetries, conservation laws, deformations, and anomalies of gauge theories. We demonstrate that a natural geometrical language to work with gauge PDEs is that of Q-bundles (fiber bundles in the category of Q-manifolds) and associated super jet-bundles. In particular, we demonstrate that any gauge PDE can be embedded (at least locally) into a super-jet bundle of the Q-bundle. This gives a globally well-defined version of the so-called parent formulation, which in turn can be though of as a certain generalization of Alexandrov-Kontsevich-Schwartz-Zaboronsky (AKSZ) sigma models.

ОСЕНЬ 2018

19 декабря 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И. Морозов
Тема: Представления Лакса и экзотические когомологии алгебр симметрий нелинейных дифференциальных уравнений

Доклад будет посвящён технике нахождения представлений Лакса нелинейных дифференциальных уравнений с помощью нецентральных расширений их алгебр контактных симметрий. Примеры будут включать представления Лакса с неустранимым параметром, двухкомпонентные обобщения и интегрируемые иерархии, связанные с некоторыми дифференциальными уравнениями.

12 декабря 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.В. Павлов
Тема: Двумерные редукции системы Хироты-Охты

We discuss the Hirota-Ohta system, which also is known as the Pfaff Lattice and the Coupled KP.

We consider its Lax pair, Darboux transformations, binary Darboux transformations and two-dimensional reductions.

Язык доклада: английский

5 декабря 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В. Жвик
Тема: Вихри в невязкой несжимаемой жидкости

В докладе сформулированы основные понятия, уравнения и теоремы вихревой гидродинамики невязкой несжимаемой жидкости. Рассмотрен класс двумерных нестационарных автомодельных отрывных течений. Приведена известная аналогия между трёхмерным стационарным обтеканием узких тел и двумерным нестационарным течением. Получено точное решение, описывающее несимметричные вихревые структуры, образующиеся при симметричном обтекании параболического крыла.

28 ноября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Н. Четвериков
Тема: Линейные дифференциальные операторы обратимые в интегро-дифференциальном смысле

Рассматриваются линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменой, для которых существуют обратные интегро-дифференциальные операторы. А именно, обратные операторы представляют собой композиции обратимых дифференциальных операторов и диагональных операторов с единицами или интегралами на диагонали. Предлагается алгоритм проверки обратимости дифференциального оператора в указанном смысле. Результаты обобщаются на C-дифференциальные операторы на бесконечно продолженных эволюционных уравнений с одной независимой переменной.

21 ноября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Конформная модель гиперколонок примарной зрительной коры, группа Мёбиуса и проблема зрительной стабильности

Согласно идеи Хьюбеля-Визеля, функционально примарную зрительную кору V1 надо рассматривать как расслоенное пространство над ретиной R, которая локально отождествляется с плоскостью или сферой. Свиндейл оценил размерность типового слоя как 6-7 или 9-10.

Будут рассмотрены три реализации этой идеи - контактная модель Петито, симплектическая модель Петито-Читти-Сарти и сферическая модель гиперколонок Бреслова-Кована. Гиперколонка или модуль это система колонок коры, ассоциированная с двумя пинвилами S,N, которая анализирует локальную структуру образа.

Обобщая эти модели, мы рассмотрим конформную модель гиперколонок как конформной сферы. Простые клетки в этой модели параметризуются точками конформной группы Мёбиуса и зависят от 6 параметров.

Модель обобщает сферическую модель гиперколонок Бреслова и Кована, в которой простые клетки параметризуются двумя параметрами - ориентацией и пространственной частотой. В окрестности пинвилов N,S, которые соответствуют максимуму и минимуму пространственной частоты, модель (с помощью стереографической проекции) отождествляется с симплектической моделью Петито-Читти-Сарти, в которой простые клетки параметризуются точками конформной группы плоскости Sim(E^2). Мы рассмотрим применение конформной модели к проблеме зрительной стабильности - объяснению того как мозг воспринимает неподвижный объект как неподвижный, несмотря на преобразование его изображения на ретине, вызванное движением глаз.

Проблема была впервые сформулирована персидским учёным Ибн аль-Хайсам в 11 веке.

14 ноября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Д. Рооп
Тема: Термодинамика и уравнения Навье-Стокса: течение газа с фазовыми переходами

Рассматривается одномерное течение вязкого газа, описываемое уравнениями Навье-Стокса. Термодинамическое состояние газа подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса. Это означает, что вдоль течения такого газа возможно возникновение фазового перехода. Соответствующее решение строится в виде асимптотического разложения по параметрам а и b, входящим в уравнение Ван-дер-Ваальса. В докладе будет также представлен геометрический подход к описанию термодинамических состояний.

Совместная работа с А.А. Гориновым, В.В. Лычагиным, С.Н. Тычковым.

7 ноября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Метод обобщённого годографа и его приложения

Метод обобщённого годографа был предложен С.П.Царёвым в 1985 году.

Он применим к широкому классу двумерных квазилинейных систем уравнений первого порядка, которые диагонализуемы, и характеристические скорости которых попарно различны, а также удовлетворяют так называемому условию полугамильтоновости.

В этом случае, двумерной квазилинейной системе уравнений первого порядка сопоставляется линейная система в частных производных с переменными коэффициентами.

В общем случае, нахождение даже частных решений таких линейных систем является сложной задачей.

В докладе будет рассмотрен случай двумерных квазилинейных систем уравнений первого порядка, которые являются гидродинамическими редукциями интегрируемых трёхмерных систем уравнений первого порядка. В этом случае, возможно эффективное вычисление полного бесконечного набора частных решений.

31 октября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.В.Туницкий
Тема: Об особенностях политропного течения сжимаемого газа

Доклад посвящён исследованию особенности многозначных решений задачи Коши для уравнений политропного сжимаемого газа с показателем адиабаты \gamma = 3. Для таких решений найдены явные выражения в квадратурах и проведена классификация особенностей их проектирования на плоскость эйлеровых координат. Поскольку этим особенностям соответствуют точки, в которых происходят градиентные катастрофы и образуются ударные волны, то тем самым классифицированы точки возникновения градиентных катастроф и образования ударных волн. Совместная работа с И.А.Богаевским.

24 октября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Н.Г. Хорькова
Тема: Интегрируемость и бесконечные иерархии симметрий и законов сохранения

Integrable differential equations (no matter what definition of integrability is used) have infinite hierarchies of symmetries and/or conservation laws. We present wide classes of PDE also possessing infinite series of nonlocal symmetries or conservation laws. For example, any nontrivial conservation law of an l-normal PDE generates an infinite family of nonlocal conservation laws. The results are obtained within the framework of nonlocal theory of PDE.

3 октября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Обратимые линейные одномерные дифференциальные операторы и их обобщения

We consider invertible linear ordinary differential operators whose inversions are also differential operators. To each such operator one assigns a numerical table. We describe these tables in the elementary geometrical language. The table does not uniquely determine the operator. We present mathematical structures that should be specified for its unique determination.

We say that a linear differential operator is unicellular, if in some bases of the modules the operator is given by an upper triangular matrix that differs from the identity matrix only by the first row. The numerical tables of unicellular operators are of the simplest form. We show that any invertible linear ordinary differential operator is represented as compositions of unicellular ones.

These results are generalized to invertible mappings of filtered modules generated by one differentiation. Invertible linear ordinary differential operators, invertible linear difference operators with periodic coefficients, unimodular matrices, and C-transformations of control systems determine mappings of this type. The possibility of generalization of these results to partial differential operators is also discussed.

19 сентября 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: О фильтрации газа в пористых средах

Фильтрация газа описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Для пространственной фильтрации идеального газа будет предложен метод прямого решения задачи. Также будет описано фундаментальное решение типа точечного источника.

ВЕСНА 2018

30 мая 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Нелокальные однородные гамильтоновы операторы третьего порядка

Будет предложен краткий обзор результатов по локальным однородным гамильтоновым операторам третьего порядка:

1) Система Потёмина (условия кососимметричности и следствия из тождества Якоби).

2) Метрика Монжа, и условия на её коэффициенты.

3) Классификация в двух- трёх- и четырёх-компонентных случаях.

Затем будет рассмотрено ограничение по Дираку, которое приводит к возникновению нелокальных гамильтоновых операторов.

18 апреля 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: Точные и приближенные решения квазилинейного волнового уравнения

Рассматриваются случаи, когда в классе многозначных решений задача Коши для квазилинейного волнового уравнения интегрируема в квадратурах. В частности, случай простых волн Римана. Также конструируется разностная схема, позволяющая аппроксимировать многозначные решения. Построенные с её помощью приближенные решения сравниваются с точными.

14 марта 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.Пенской
Тема: Изопериметрическое неравенство для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере

Доклад посвящён доказательству изопериметрического неравенства для всех собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере: для любого натурального k собственное число \lambda_k оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере с римановой метрикой площади 1 максимизируется в пределе последовательности метрик, сходящейся к особой метрике на объединении k идентичных касающихся сфер со стандартной метрикой.

Это доказывает гипотезу, высказанную Надирашвили в 2002 году, и даёт строгое изопериметрическое неравенство для всех ненулевых собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Ранее этот результат был известен только для k=1 (Hersch , 1970), k=2 (Nadirashvili, 2002; Petrides, 2014) и k=3 (Nadirashvili и Sire, 2017). В частности, это значит, что для k>=2 супремум k-го собственного числа на сфере единичного объёма не можем быть достигнут на римановой метрике, гладкой за исключением конечного числа конических особенностей. Доказательство использует свойства гармонических отображений между сферами.

Отметим, что впервые задача геометрической оптимизации собственных чисел на поверхности была решена для всех собственных чисел: до этого эта задача решалась лишь для некоторых собственных чисел.

По совместной работе с Карпухиным, Надирашвили и И.Полтеровичем.

7 марта 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Фактор-уравнение уравнения Эйнштейна

Рассматривается уравнения Эйнштейна в вакууме, определённое на 4-мерном ориентированном многообразии. Будет построено фактор-уравнение этого уравнения относительно псевдогруппы локальных диффеоморфизмов исходного многообразия. Решениями полученного уравнения являются орбиты решений исходного уравнения относительно этой псевдогруппы.

28 февраля 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.Морозов
Тема: Многомерные интегрируемые по Лаксу уравнения: расширения, преобразования Бэклунда, нелокальные законы сохранения

Доклад будет посвящён недавним результатам изучения трёх- и четырёхмерных уравнений, интегрируемым по Лаксу. В первой части доклада будет рассмотрено квазиклассическое автодуальное уравнение Янга-Миллса. Будет показано, что конечномерная часть алгебры локальных симметрий этого уравнения имеет нетривиальную вторую группу экзотических когомологий. Порождающий эту группу коцикл задаёт накрытие, которое определяет интегрируемое расширение исходного уравнения, а в частном случае совпадает с известным накрытием, зависящим от неустранимого параметра. Кроме того будет обсуждаться порождаемая рассматриваемым уравнением интегрируемая иерархия.

Во второй части доклада, основанной на совместной работе с А. Лелито, будут рассмотрены пять трёхмерных уравнений с накрытиями, зависящими от неустранимого параметра. В недавней совместной работе с М.В.Павловым мы показали, что все эти уравнения связаны преобразованиями Бэклунда. В работе З.В.Макридина и М.В.Павлова был построен нелокальный закон сохранения для одного из этих уравнений. В докладе будут построены нелокальные законы сохранения для остальных четырёх уравнений, доказана их нетривиальность, а также будет показано, что нелокальные законы сохранения для четырёх уравнений порождаются из локального закона сохранения уравнения сетей Веронезе с помощью преобразований Бэклунда.

21 февраля 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: Об обратной вариационной задаче для одномерных квазилинейных волновых уравнений

The talk concerns an inverse problem of calculus of variations for one class of hyperbolic quasilinear second order equations with two independent variables. The equations of this class have a rather wide range of applications, among which are modeling of a two-conductor transmission line, the motion of a hyperelastic homogeneous rod whose cross-sectional area varies along the rod, vibration of a string, wave propagation in a bar of elastic-plastic material, and isentropic flows of a compressible gas with plane symmetry. A constructive solution of the problem in hand is given and the corresponding Lagrangians are explicitly constructed.

7 февраля 2018 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: К геометрии нелинейных стохастических уравнений в частных производных

This is a first step and attempt to find an geometric approach to stochastic PDEs and especially to nonlinear ones. These two lectures are planned to be an elementary introduction to the topic.

ОСЕНЬ 2017

25 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Интегрируемость исключительных систем гидродинамического типа

In this talk we consider non-diagonalisable hydrodynamic type systems integrable by the Extended Hodograph Method. We restrict our consideration to non-diagonalisable hydrodynamic reductions of the Mikhalev system. We show that families of these hydrodynamic type systems are reducible to the heat hierarchy. Then we construct new particular solutions for the Mikhalev system.

18 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo
Тема: The symbolic computation of integrability structures for PDEs

A unified mathematical approach for the computation of integrability structures for partial differential equations, i.e., Hamiltonian operators, recursion operators for symmetries and cosymmetries, symplectic operators, was introduced so far by Kersten, Krasil'shchik and Verbovetsky (https://arxiv.org/abs/math/0304245). The symbolic computation was carried out by Reduce programs that evolved into the packages CDiff and CDE. A book on this subject will be published by Springer quite soon. The talk will be a review of the book; we will both recall the theory and show computational experiments on integrability structures.

11 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: П.Бибиков
Тема: Неприводимые представления полупростых алгебраических групп с дифференциальной точки зрения

In this talk we discuss an approach to the study of orbits of actions of semisimple algebraic groups in their irreducible complex representations, which is based on differential invariants on the one hand, and on geometry of reductive homogeneous spaces on the other hand. According to the Borel-Weil-Bott theorem, every irreducible representation of semisimple Lie group is isomorphic to the action of this group on the module of holomorphic sections of some one-dimensional bundle over homogeneous space. Using this, we give a complete description of the structure of the field of differential invariants for this action and obtain a criterion which separates regular orbits. In collaboration with Valentin Lychagin.

4 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Д.Рооп
Тема: Затопленные струи и другие сингулярные решения уравнений Навье-Стокса

Рассматривается движение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Для различных подалгебр алгебры симметрий построены инвариантные решения, имеющие сингулярность в заданной неподвижной точке и на оси. В частности, рассматриваются классические примеры затопленных струй: Ландау, Бромана и Руденко. Рассматривается также применение асимптотических методов для построения затопленных струй.

27 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.Г.Кушнер
Тема: Термодинамика нефтяных потоков

В докладе будет представлен метод расчёта и управления фильтрационными потоками воды и нефти при разработке нефтяных месторождений на основе двумерной модели Бакли-Леверетта. Для этого будут построены асимптотические разложения по малому параметру решений соответствующей системы дифференциальных уравнений.

Доклад является продолжением доклада В.В.Лычагина "Анализ нефтяных полей в модели Бакли-Леверетта" (6 сентября 2017) .

Результаты получены совместно с А.В.Ахметзяновым и В.В.Лычагиным. Компьютерные расчёты и визуализация выполнены Е.А.Ярошенко.

20 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.Дуюнова
Тема: Дифференциальные инварианты уравнений Навье-Стокса в пространстве

Рассматривается течение вязкой ньютоновской жидкости в поле действия силы тяжести, описываемое системой уравнений Навье-Стокса. Найдены алгебры симметрий и алгебры дифференциальных инвариантов данной системы уравнений. Исследуется зависимость термодинамических состояний от алгебры допустимых симметрий.

13 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Двумерные редукции уравнения u_yy = u_tx + u_y u_xx - u_x u_xy и их нелокальные симметрии

We consider the 3D equation u_yy = u_tx + u_y u_xx - u_x u_xy and its 2D reductions:

(1) u_yy = (u_y + y) u_xx - u_x u_xy - 2 (which is equivalent to the Gibbons-Tsarev equation) and

(2) u_yy = (u_y + 2x) u_xx + (y - u_x) u_xy - u_x.

Using reduction of the known Lax pair for the 3D equation, we describe nonlocal symmetries of (1) and (2) and show that the Lie algebras of these symmetries are isomorphic to the Witt algebra.

Joint work with P. Holba, O. I. Morozov, and P. Vojc'ak. http://arxiv.org/abs/1707.07645

6 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: Анализ нефтяных полей в модели Баклея-Леверетта

Будет предложен метод решения системы уравнений Баклея-Леверетта и основанный на нем метод оптимального управления

ВЕСНА 2017

26 апреля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И.Морозов
Тема: Деформации и расширения бесконечномерных алгебр Ли и интегрируемые нелинейные уравнения

В докладе будет рассмотрена деформация тензорного произведения алгебры усечённых многочленов и алгебры векторных полей на прямой, а также некоторые расширения этой деформации, и будет показано, что формы Маурера-Картана возникающих таким образом алгебр Ли порождают представления Лакса для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений.

12 апреля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.М.Худавердян (Manchester, UK)
Тема: Толстые морфизмы и высшие скобки Козюля

For an arbitrary manifold M, we consider supermanifolds \Pi TM and \Pi T^*M, where \Pi is the parity reversion functor. The space \Pi T^*M possesses canonical odd Schouten bracket and space \Pi TM possess canonical de Rham differential d. An arbitrary even function P on \Pi T^*M such that [P,P]=0 induces a homotopy Poisson bracket on M, a differential, d_P on \Pi T^*M, and higher Koszul brackets on \Pi TM. (If P is fiberwise quadratic, then we arrive at standard structures of Poisson geometry.) Using the language of Q-manifolds and in particular of Lie algebroids, we study the interplay between canonical structures and structures depending on P. Then using just recently invented theory of thick morphisms we construct a non-linear map between the L_{\infty} algebra of functions on \Pi TM with higher Koszul brackets and the Lie algebra of functions on \Pi T^*M with the canonical odd Schouten bracket.

This is the joint work with T.Voronov.

29 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Красильщик И.С.
Тема: Нелокальные симметрии уравнений, интегрируемых по Лаксу: сравнительное исследование

We consider four three-dimensional equations: (1) the rdDym equation u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}, (2) the 3D Pavlov equation u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}; (3) the universal hierarchy equation u_{yy} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}, and (4) the modified Veronese web equation u_{ty} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}. For each equation, using the know Lax pairs and expanding the latter in formal series in spectral parameter, we construct two infinite-dimensional differential coverings and give a full description of nonlocal symmetry algebras associated to these coverings. For all the four pairs of coverings, the obtained Lie algebras of symmetries manifest similar (but not the same) structures: the are (semi) direct sums of the Witt algebra, the algebra of vector fields on the line, and loop algebras; all of them contain a component of finite grading. We also discuss actions of recursion operators on shadows of nonlocal symmetries.

A joint work with H.Baran, O.Morozov, and P.Voj??k.

Full text in: http://arxiv.org/abs/1611.04938

22 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Многомерные законы сохранения и интегрируемые системы

We introduce and investigate a new phenomenon in the Theory of Integrable Systems - the concept of multi-dimensional conservation laws for two- and three-dimensional integrable systems.

Existence of infinitely many local two-dimensional conservation laws is a well-known property of two-dimensional integrable systems.

We show that pairs of commuting two-dimensional integrable systems possess infinitely many three-dimensional conservation laws.

Examples: the Benney hydrodynamic chain, the Korteweg de Vries equation.

Simultaneously three-dimensional integrable systems (like the Kadomtsev-Petviashvili equation) have infinitely many three-dimensional quasi-local conservation laws.

We illustrate our approach considering the dispersionless limit of the Kadomtsev-Petviashvili equation and the Mikhalev equation.

Applications in three-dimensional case: the theory of shock waves, the Whitham averaging approach.

15 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Оганесян
Тема: Матричные коммутирующие дифференциальные операторы

Доклад будет посвящён теории коммутирующих скалярных и матричных дифференциальных операторов. Будет рассказано о новых примерах скалярных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и о явном виде их общих собственных функций. Мы обсудим новые результаты в теории матричных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и векторного ранга (2,2). Будет приведён эффективный метод построения таких операторов.

8 марта семинара не будет

1 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: Отражения солитона на вязком барьере и деградация сохраняющихся величин КдФ

Если волны описываются уравнением u_t = 2u u_x + u_xxx + \epsilon \chi_{a,b} u_xx, где \chi_{a,b} - характеристическая функция интервала [a,b], то пришедший справа солитон 6a^2 ch^{-2} (4a^3t + ax) частично отражается на вязком барьере x \in [a,b] и частично проходит как солитон меньшей скорости и амплитуды. Процесс в некоторой степени описывается так называемыми балансовыми законами - эволюцией законов сохранения для КдФ.

22 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo
Тема: Methods of tangent and cotangent coverings for Dubrovin-Novikov integrability operators

The well-established method of tangent and cotangent covering for searching integrability operators, like Hamiltonian, symplectic and recursion operators, was introduced by Kersten, Krasil'shchik, and Verbovetsky in 2003. The method consists in describing integrability operators of a given PDE as linear functions of some odd variables which are in the kernel of linearization or adjoint linearization of the PDE. We apply the method to the search of Dubrovin-Novikov integrability operators for hydrodynamic-type PDEs. We recover known results, like: Tsarev's compatibility conditions between a hydrodynamic-type system and a first-order local Dubrovin-Novikov Hamiltonian operator; a geometric interpretation of nonlocalities in Ferapontov's nonlocal homogeneous operators. We obtain new results, like a new system of PDEs that expresses the compatibility of third-order Dubrovin-Novikov and a hydrodynamic-type system, as well as new (integrable?) systems of that type. We will discuss several interesting problems and conjectures that are emerging from the interaction between the two theories.

15 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ю.Л.Сачков
Тема: Множество разреза в (суб)римановой геометрии

8 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Накрытия из дифференциальных уравнений и C-инвариантные распределения

Накрытия над исследуемым дифференциальным уравнением строят при вычислении его нелокальных симметрий и операторов рекурсии. В данном докладе речь пойдёт о более простой задаче построения накрытий из заданного уравнения и описанию накрываемых уравнений. Естественный путь решения этой задачи - характеризация распределения, определённого слоями накрытия. Будет показано, что данное распределение инвариантно относительно распределения Картана (C-инвариантно) и интегрируемо в бесконечномерном смысле. Обратно, всякое интегрируемое C-инвариантное распределение на бесконечном продолжении уравнения определяет накрытие из этого уравнения. Вертикальная составляющая столбца векторных полей, задающих C-инвариантное распределение, представляет собой матричный аналог эволюционного дифференцирования, а соответствующая производящая матрица удовлетворяет матричному аналогу линеаризации уравнения.

4 января 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ф.Ф.Воронов (Манчестер/Томск)
Тема: Микроформальная геометрия и её применения

В докладе будет рассказано про новое понятие "микроформальных" (или "толстых") морфизмов гладких (супер)многообразий, которое обобщает обычные гладкие отображения. Эти новые морфизмы действуют на гладкие функции операцией обратного образа, который, однако, будет нелинейным преобразованием. (Более точно - формальный нелинейный дифференциальный оператор.) Возникает формальная категория - "утолщение" обычной категории (супер)многообразий. Конструкция возникла в связи с гомотопическим аналогом пуассоновых структур, для которых она позволяет строить L-бесконечность морфизмы. Другое применение - "сопряжённый оператор" для нелинейного отображения векторных расслоений. Можно определить также "квантовые микроформальные морфизмы", для которых вышеописанное является классическим пределом.

14 декабря 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo (Lecce, Italy)
Тема: Bi-Hamiltonian structures of KdV type

Combining an old idea of Olver and Rosenau with the classification of second and third order homogeneous Hamiltonian operators we classify compatible trios of two-component homogeneous Hamiltonian operators. The trios yield pairs of compatible bi-Hamiltonian operators whose structure is a direct generalization of the bi-Hamiltonian pair of the KdV equation. The bi-Hamiltonian pairs give rise to multi-parametric families of bi-Hamiltonian systems. We recover known examples and we find new integrable systems whose central invariants are non-zero; this shows that new examples are not Miura-trivial.

This is a joint work with Paolo Lorenzoni and Andrea Savoldi.

7 декабря заседания не будет

30 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новые интегрируемые дискретные системы

We present a new reduction of the Benney system describing propagation of long waves in fluid of finite depth. The previous model suggested by V.E. Zakharov determines the piecewise-constant velocity profile, while the new model determines the piecewise-linear velocity profile. V.E. Zakharov demonstrated that his model can be derived from the vector nonlinear Schrodinger equation by a dispersionless limit. We show that the new model can be derived from new integrable discrete system by a continuous limit.

23 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.О.Ремизов
Тема: Особенности геодезических потоков в двумерных метриках переменной сигнатуры

Доклад посвящён обзору недавних результатов об особенностях геодезических потоков в гладких двумерных метриках переменной сигнатуры (такие метрики мы условимся называть псевдоримановыми). В случае общего положения существует кривая, на которой псевдориманова метрика вырождается. Точки вырождения метрики являются сингулярными точками соответствующего геодезического потока. Это приводит к тому, что, вследствие нарушения стандартной теоремы существования и единственности, геодезические не могут выходить из точки вырождения во всевозможных направлениях, но лишь в определённых "допустимых" направлениях. В общем случае число допустимых направлений конечно и почти во всех точках кривой вырождения равно 1 или 3, а в отдельных точках кривой вырождения - 2. Качественное поведение геодезических в точках вырождения псевдориманой метрики также весьма сильно отличается от того, что бывает в римановом случае. Обо всем этом будет рассказано в докладе.

16 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: О дифференциально-геометрических структурах, ассоциированных с уравнениями Монжа-Ампера

Доклад посвящён дифференциально-геометрическим структурам, естественным образом ассоциированным с гиперболическими и эллиптическими уравнениями Монжа-Ампера в общем положении.

В частности, среди таких структур присутствуют аффинные связности, а также симметрические и кососимметрические 2-формы.

9 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Hilja Lisa Huru (Troms?, Norway)
Тема: Quantizations of Lie algebra representations

This talk will be on categorical quantizations and braidings in some specific monoidal categories. I will present some examples of quantizations of algebras, which is changing the multiplication and the commutativity of the algebras. Some focus will be on monoidal categories of graded modules. We shall further explore quantizations of Lie group actions, and of Lie algebras and Lie algebra action.

2 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ю.Л.Сачков
Тема: Субриманова геометрия: кратчайшие, сферы, множества разреза

Субриманова структура на гладком многообразии M есть векторное распределение \Delta \subset TM с римановой метрикой g на распределении \Delta.

Горизонтальные кривые суть липшицевы кривые в M, касающиеся распределения \Delta почти всюду. Если M связно, а алгебра Ли, порождённая распределением \Delta, задаёт все касательное расслоение TM, то любые точки в M соединимы горизонтальной кривой (теорема Рашевского-Чоу).

Длина горизонтальной кривой есть интеграл от длины её вектора скорости. Субримановым расстоянием (расстоянием Карно-Каратеодори) d(q_0, q_1) между точками q_0, q_1 \in M называется нижняя грань длин всех горизонтальных кривых, соединяющих q_0 с q_1. Кратчайшая есть горизонтальная кривая, длина которой равна расстоянию между её концами. Довольно слабые условия гарантируют существование кратчайшей между достаточно близкими точками M (теорема Филиппова). Если же субримановы шары компактны, то в условиях теоремы Рашевского-Чоу любые точки M соединимы кратчайшей.

Геодезическая есть горизонтальная кривая, малые дуги которой суть кратчайшие. Геодезические являются проекциями T^*M \to M траекторий некоторой естественной гамильтоновой системы на T^*M (принцип максимума Понтрягина).

В докладе будут затронуты следующие вопросы: - левоинвариантные субримановы структуры на группах Ли, - симметрийный метод поиска кратчайших, - примеры исследованных левоинвариантных субримановых геометрий (трёхмерные группы Ли, группа Энгеля, группа Картана), - ограничения существующих методов (неинтегрируемость по Лиувиллю плоских субримановых структур глубины больше трёх), - приложения в механике, робототехнике, обработке изображений.

26 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Л.В.Богданов
Тема: SDYM equations on the self-dual background

We introduce the technique combining the features of integration schemes for SDYM equations and multidimensional dispersionless integrable equations to get SDYM equations on the conformally self-dual background and the corresponding hierarchy. Lax pair is introduced, generating differential form for the hierarchy is defined, the dressing scheme is developed. Some special cases and reductions are considered.

19 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Уравнения 2-го порядка в частных производных с простой группой симметрий


5 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.И.Малахов
Тема: Проблема Ли и дифференциальные инварианты подгруппы группы Кремоны

Мы обсудим решение проблемы Ли о точечной классификации обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка y'' = F(x,y), а также новый подход к изучению бесконечномерных подгрупп в группе Кремоны. Подход основан на неожиданной связи между дифференциальными уравнениями и алгебраической геометрией. А именно, рассмотрим лишь те дифференциальные уравнения вида y'' = F(x,y), у которых правая часть является рациональной функцией. Тогда группа точечных симметрий такого класса дифференциальных уравнений является подгруппой в группе Кремоны. Работа выполнена совместно с П.В.Бибиковым.

14 сентября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Неинтегрируемые системы Пфаффа

Будет обсуждаться статья A. Kumpera "Non-integrable Pfaffian systems", http://arxiv.org/abs/1608.02871

4 мая 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И.Морозов
Тема: Деформированные когомологии псевдогрупп симметрий и накрытия дифференциальных уравнений

В докладе будет рассказано о применении деформированных когомологий псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений к задаче нахождения дифференциальных накрытий. Примеры будут включать уравнение Хохлова-Заболотской, уравнение Бойера-Финли и уравнение Герджикова-Блашака.

20 апреля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Билагранжевы линеаризуемые системы

Мы рассмотрим класс C-интегрируемых систем, допускающих билагранжево представление.

13 апреля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: О глобальной разрешимости одномерных нелинейных волновых уравнений

Доклад посвящён глобальной разрешимости задачи Коши для одномерных нелинейных волновых уравнений. Доказано, что в классе многозначных решений эта задача имеет единственное максимальное решение. Это решение обладает свойством полноты, которое аналогично соответствующему свойству решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

30 марта 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: О нелинейной суперпозиции ударных волн для уравнения Кортвега-де Фриза-Бюргерса

Исследуется и численно моделируется нелинейная суперпозиция аналитически заданных монотонных ударных волн - галилеево-инвариантных решений уравнения Кортвега-де Фриза-Бюргерса. Начальный профиль в виде суммы таких ударных волн с течением времени постепенно переходит в галилеево инвариантное решение несколько более сложной структуры. Прослеживаются этапы перестройки фазового портрета и характера особых точек сопутствующей динамической системы.

16 марта 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: С.Тычко
Тема: Симметрии уравнений гидродинамики и термодинамика

Рассматриваются двумерные уравнения гидродинамики: уравнение Эйлера и уравнение Навье-Стокса. С помощью алгебры симметрий этих уравнений исследуются различные классы термодинамических соотношений между плотностью, давлением, температурой и энтропией, которые сохраняются под действием этих симметрий.

24 февраля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты и точные решения уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла

В докладе будут представлены результаты работ [1] и [2].

Будет показано, что на произвольном решении уравнения Эйнштейна всякое собственное значение оператора Вейля определяет гиперболическое и эллиптическое распределения, а на решении общего положения уравнения Эйнштейна-Максвелла электромагнитный тензор определяет гиперболическое и эллиптическое распределения.

Будем называть решение уравнения Эйнштейна или Эйнштейна-Максвелла вполне геодезическим, если указанные распределения на нем вполне интегрируемы и их максимальные интегральные многообразия вполне геодезические.

Для каждого из этих уравнений в докладе будет вычислено семейство явных вполне геодезических решений, зависящих от констант, двух функций одной переменной и одной гармонической функции.

[1] V.Lychagin, V.Yumaguzhin, Differential invariants and exact solutions of the Einstein-Maxwell equation, Anal. Math. Phys., 2016, to appear.

[2] V.Lychagin, V.Yumaguzhin, Differential invariants and exact solutions of the Einstein equation, Anal. Math. Phys., 2016, to appear.

17 февраля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новый гамильтонов формализм и лагранжевы представления для интегрируемых систем гидродинамического типа

New Hamiltonian formalism based on the theory of conjugate curvilinear coordinate nets is established. All formulas are "mirrored" to corresponding formulas in the Hamiltonian formalism constructed by B.A.Dubrovin and S.P.Novikov (in a flat case) and E.V.Ferapontov (in a non-flat case). In the "mirrored-flat" case the Lagrangian formulation is found. Multi-Hamiltonian examples are presented. In particular Egorov's case, generalizations of local Nutku-Olver's Hamiltonian structure and corresponding Sheftel-Teshukov's recursion operator are presented. A number of Hamiltonian structures of all odd orders is found.

Reference: M.Pavlov, New Hamiltonian formalism and Lagrangian representations for integrable hydrodynamic type systems, http://arxiv.org/abs/nlin/0608029

16 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: П.Е.Пушкарь
Тема: Порождающие семейства в контактной топологии

Я расскажу о порождающих семействах, контактной редукции и теоремах типа Чеканова.

16 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Gerard Helminck (Amsterdam)
Тема: Decompositions of the group G(2) and related integrable hierarchies

The group G(2) of all invertible transformations of a Hilbert space that differ from the identity an operator of the Hilbert-Schmidt class, played a role in the work of Shale on symmetries for free boson fields. In this talk we explain the role various decompositions of this group plays in the construction of solutions of various integrable hierarchies, both of KdV- and of Toda-type.

9 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: Invariants of projective PSL_2-actions and their application to recognition of fingerprints

We study the field of rational differential invariants of the left PSL_2(R)-action on the homogeneous space Diff(S^1) / PSL_2(R) and use them to give an alternative description of the shape space and fingerprints, introduced by Mumford and Sharon.

2 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Минков
Тема: Построение операторов рекурсии для бездисперсионных интегрируемых систем (работа А.Сергеева)

Будет обсуждаться работа Артура Сергеева http://arxiv.org/abs/1501.01955, в которой предъявлен новый способ построения пар Лакса по операторам рекурсии бездисперсионного уравнения и сделано эмпирическое наблюдение, что из линейных (по спектральному параметру) пар Лакса, наоборот, может быть извлечён оператор рекурсии. Будут рассмотрены примеры уравнения Павлова, небесного уравнения и уравнения Алонсо-Шабата, причём показано, что уже известные их пары Лакса можно заменами сделать линейными по параметру. Несколько слов будет сказано и о гамильтоновой структуре небесного уравнения.

25 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Как по интегрируемому трёхмерному квазилинейному уравнению второго порядка (под интегрируемостью в данном случае понимается наличие так называемой бездисперсионной пары Лакса) построить интегрируемую гидродинамическую цепочку (под интегрируемостью в данном случае понимается наличие бесконечного запаса законов сохранения и гамильтоновой структуры или обращение в ноль всех компонент тензора Хаантьеса)

В качестве простейшего примера рассматривается бездисперсионный предел уравнения Кадомцева-Петвиашвили и связанная с ним гидродинамическая цепочка Бенни. Второй пример - это слабонелинейные уравнения, их пять (контактно неэквивалентных), их класссификация дана Е.В.Ферапонтовым и Дж.Моссом.

18 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.Кушнер
Тема: Уравнение Бакли-Леверетта интегрируемо в квадратурах

В докладе будет показано как проинтегрировать уравнение Бакли-Леверетта, возникающее в нефтяных задачах.

Для этого уравнения будет решена задача Коши и найден момент зарождения ударной волны.

11 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Операторы рекурсии и бигамильтоновы структуры общего небесного уравнения

Будет обсуждаться статья M.B.Sheftel, A.A.Malykh, and D.Yaz?c? "Recursion operators and bi-Hamiltonian structure of the general heavenly equation", http://arxiv.org/abs/1510.03666

28 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Рубцов
Тема: Структуры Монжа-Ампера и геометрия несжимаемых потоков

We show how a symmetry reduction of the equations for incompressible hydrodynamics in three dimensions leads naturally to a Monge-Amp?re structure, and Burgers'-type vortices are a canonical class of solutions associated with this structure. The mapping of such solutions, which are characterised by a linear dependence of the third component of the velocity on the coordinate defining the axis of rotation, to solutions of the incompressible equations in two dimensions is also shown to be an example of a symmetry reduction The Monge-Amp?re structure for incompressible flow in two dimensions is shown to be hypersymplectic.

Joint work with Bertrand Banos and Ian Roulstone

14 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Терминальное управление методом накрытий

Задача терминального управления (point-to-point steering problem) заключается в переводе системы из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Предлагаемый поход основан на дополнении исходной недоопределённой системы до определённой системы E. При этом дополнительные уравнения следует выбирать так, чтобы конечным условиям удовлетворяли все точки слоя некоторого накрытия из системы E в какую-либо систему Y, а множество точек, удовлетворяющих начальным условиям, было трансверсально слоям этого накрытия. Тогда решение задачи терминального управления находится как решение двух связанных задач Коши для систем E и Y.

Данный подход обобщает известный метод решения задачи терминального управления для плоских систем. Но в отличие от известного метода он позволяет искать решение в намного более широком классе функций, а значит, учитывать ограничения системы.

Кроме того, в докладе будут сформулированы и другие задачи теории управления, для решения которых могут быть использованы методы бесконечномерной геометрии.

7 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: Об уравнении Бюргерса на интервале с периодическими граничными условиями

Asymptotics of the Burgers equation solutions on a finite interval with a periodic perturbation on the boundary are studied and a number of numeric illustrations is presented. The equation describes a dissipative medium, so the initial constant profile passes into a travelling wave with a decreasing amplitude. In the case of a small viscosity the asymptotic profile looks like a saw (with periodic breaks of the derivative), similar to a known Fay solution on the half-line. Yet on an interval some new properties occur. The form of the solution retains the sawtooth profile yet its average over the interval differs from that on the half-line and depends also on the perturbation amplitude. Interaction between two perturbations of different frequencies is discussed, in particular the doubling of the envelope frequency. The figures were generated numerically using Maple PDETools package. It is worth noticing that standard procedures may easily loose stability at the points of derivative's discontinuity (e.g., at the tooth endpoint) leading to multi-oscillations and loss of precision. This problem was dealt with by adapting parameters of numeric simulations.

30 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: О лагранжевости симплектических дифференциальных уравнений

Я расскажу теорему Хавкина (http://arxiv.org/abs/1210.0802) о том, что всякое дифференциальное уравнение, обладающее симплектической структурой, является подуравнением лагранжевого уравнения.

23 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Е.М.Бениаминов
Тема: Калибровочные преобразования и галилеева инвариантность модифицированного уравнения Крамерса для волновых процессов в фазовом пространстве и квантовая механика

В докладе обсуждаются исследования математических моделей диффузионного рассеяния волн в фазовом пространстве в тепловой среде и связь этих моделей с квантовой механикой. В работах автора строится обобщённое уравнение Крамерса для описания процесса рассеяния волн в фазовом пространстве. Показано, что в этих моделях при некоторых значениях параметров модели квантово-механическое описание проявляется как асимптотика после малого промежутка времени переходного процесса. В связи с этим, предлагаемые модели могут рассматриваться как примеры, в которых квантовые описания возникают как приближенные для некоторого более точного описания процесса.

В этой работе показывается, что предлагаемые модели диффузионного рассеяния волн обладают свойством калибровочной инвариантности. Отсюда выводится, что соответствующие им процессы одинаково описываются во всех инерциальных системах координат, то есть инвариантны при преобразованиях Галилея. Таким образом, в представленной модели в экспериментах невозможно определить скорость движения системы относительно неподвижной тепловой среды.


Beniaminov E.M. Scattering of Waves in the Phase Space, Quantum Mechanics, and Irreversibility, EJTP 12, No.32 (2015) 43-60,

Beniaminov E.M. Diffusion Scattering of Waves is a Model of Subquantum Level, EJTP 11, No.30 (2014) 35-48,

16 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Игонин
Тема: On Darboux-B?cklund transformations for PDEs and Miura type transformations for differential-difference equations

Recall that differential-difference equations are equations for functions of an integer variable $n$ and a real variable $t$. Such equations involve integer shifts of $n$ and derivatives with respect to $t$. The well-known Toda lattice equation is a typical example. In the first part of my talk, I will review some known results on connections between differential-difference equations and Darboux-B?cklund transformations of two-dimensional PDEs. For a given PDE with a zero-curvature (Lax) representation, Darboux transformations allow one to obtain new solutions for the PDE from known solutions by solving some ODEs. (The resulting relation between known and new solutions is a B?cklund transformation.) Following the review paper F.Khanizadeh, A.V.Mikhailov, Jing Ping Wang, Theor. Math. Phys. 177, 1606-1654 (2013), http://arxiv.org/abs/1305.0588 I will show how differential-difference equations arise from Darboux transformations of PDEs. In particular, we will see how the Toda lattice arises from Darboux transformations of the nonlinear Schr?dinger equation. Motivated by this construction, one defines the notion of Darboux-Lax representations (DLRs) for differential-difference equations. DLRs play the role of zero-curvature representations in the differential-difference case. (This is also known.) In the second part of my talk, I will present new results on Miura type transformations (MTTs) for differential-difference equations (DDEs). Namely, I will describe a method to construct MTTs for DDEs from DLRs of DDEs. The method uses some Lie group actions associated with DLRs and is applicable to parameter-dependent DLRs satisfying certain conditions. The main idea behind this method is closely related to the results of Drinfeld and Sokolov on MTTs for the partial differential KdV equation. The second part of my talk is based on a joint work with George Berkeley from the University of Leeds.

9 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: On nonlocal symmetries of the 3D rdDym equation

Using the Lax representation with non-removable parameter, we construct two hierarchies of nonlocal conservation laws for the 3D rdDym equation $u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}$ and describe the algebras of nonlocal symmetries in the corresponding coverings. A joint work with H.Baran, O.Morozov, and P.Voj??k http://arxiv.org/abs/1507.00897

13 мая 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Тычков
Тема: Инварианты решений уравнения ассоциативности

Нами рассматривается уравнение ассоциативности u_{yyy} + u_{xxx}u_{xyy} - u_{xxy}^2 = 0. Найдена алгебра Ли симметрий этого уравнения. Доказана алгебраичность действия этой алгебры. Описана алгебра дифференциальных инвариантов решений уравнения ассоциативности. С помощью теоремы Ли-Бьянки найдены некоторые решения уравнения ассоциативности.

6 мая заседания не будет

29 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения. Часть 2

22 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новое "промежуточное" уравнение, обобщающее уравнение ассоциативности

Построена трёхкомпонентная система уравнений, которая:

  1. би-гамильтонова;
  2. в так называемом "высоко-частотном" пределе является системой уравнений ассоциативности;
  3. имеет также бездисперсионный предел.

15 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Symmetry reductions of Lax integrable 3D systems

8 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии. Часть 2

1 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: П.Бибиков
Тема: О геометризации дифференциальных уравнений второго порядка, квадратичных по старшим производным

В 1978 г. В.В.Лычагиным была предложена замечательная конструкция, позволяющая геометризовать уравнения Монжа-Ампера второго порядка. Суть это конструкции заключалась в представлении уравнений как ядер некоторых нелинейных дифференциальных операторов, строящихся по т.н. эффективным дифференциальным 2-формам, лежащим на распределении Картана в пространстве 1-джетов. Преимуществами такого подхода к изучению уравнений Монжа-Ампера являются, во-первых, возможность привлечения геометрических методов для изучения этих уравнений, а во-вторых, понижение порядка рассматриваемых объектов.

Представляется естественным обобщить конструкцию Лычагина на другие классы дифференциальных уравнений. В докладе будет сделана попытка такого обобщения на дифференциальные уравнения второго порядка, квадратичные по старшим производным. В первой части доклада мы поговорим об обыкновенных дифференциальных уравнениях (где удалось довести вычисления до явных ответов), а во второй - об уравнениях в частных производных (где окончательных ответов пока что не получено). При этом будет показано, как точечные инварианты таких уравнений связаны с симплектическими инвариантами грассманианов квадрик, а контактные - с квадриками на пространстве эффективных дифференциальных 2-форм.

25 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Четвериков
Тема: Анализ и синтез обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной

Доклад посвящён исследованию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Актуальность задачи описания таких операторов объясняется её связью с задачами преобразования и классификации систем управления, в частности, с задачей проверки плоскостности систем.

Каждый обратимый линейный дифференциальный оператор определяет серию спектральных последовательностей цепных комплексов. На основе исследования размерностей модулей этих спектральных последовательностей будет построено соответствие между обратимыми операторами и элементарно-геометрическими моделями, которые называются d-схемами квадратов. Обратимый оператор определяется своей d-схемой неоднозначно, но будут сформулированы математические структуры, которые необходимо задать для однозначного определения такого оператора, а также алгоритм его построения.

В качестве демонстрации применения полученного описания обратимых операторов будут получены условия плоскостности систем с двумерным управлением.

Наконец, будут рассмотрены возможные обобщения предлагаемого подхода на случай операторов в частных производных, дифференциальных операторов с запаздыванием и разностных операторов.

Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. N 7. С. 105-127.

18 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения

Термин "нейрогеометрия" был предложени J.Petitot в 1990 году для раздела нейронауки, занимающейся построением моделей различных структур мозга, прежде всего связанных со зрением, на языке дифференциальной геометрии и дифференциальных уравнений. Структуры описываются как сплошные среды с локальной внутренней структурой, определяемой свойствами нейронов. Подход базируется на принципе локальности действия зрительных нейронов, возбуждение которых зависит от плотности энергии света I, падающего на небольшую область сетчатки D ("рецептивное поле нейрона"). Многие зрительные нейроны работают как линейные фильтры (обобщённые функции с носителем D) - их возбуждение определяется интегралом от функции интенсивности I по области D с некоторым весом ("рецептивным профилем нейрона").

В докладе будет кратко описано строение и работа низших структур зрительной системы (early vision) - глаза, сетчатки, наружного коленчатого тела. Будет рассмотрена открытая D.Hubel and T.Wiesel удивительная архитектура примарной зрительной коры VI - поле piwheel'ов и система гиперколонок (Нобелевская премия 1990). Будут кратко изложены различные геометрические модели, описывающие эти структуры и их эволюцию (контактная модель Petitot, симплектическая модель Petitot-Citti-Satri, модель гиперколонок Bressloff-Cowan'a, модель эволюции поля пинвилов Wolf-Geisel'a). В заключение будет предложен синтез моделей Petitot-Citti-Sarti и Bressloff-Cowan, и применение этой модели к решению проблемы стабильности - инвариантности восприятия изображения относительно фиксационных движений глаз, открытых А.Ярбусом.

11 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии

Диффеология - это некоторое расширение дифференциальной геометрии. Имея минимальный набор аксиом, диффеология позволяет работать просто, но строго с объектами, которые обычно стараются избежать в дифференциальной геометрии: фактор-многообразия (в том числе, нехаусдорфовы), пространства функций, группы диффеоморфизмов, пространство слоёв слоения и тп. Категория диффеологических пространств обладает многими приятными качествами. Например, она является полной и кополной категорией, а категория гладких конечномерных многообразий с границей в ней образует полную подкатегорию. Все основные понятия дифференциальной геометрии (гладкое многообразие, расслоения, тензоры, производные Ли и тп) переносятся на диффеологические пространства. Я расскажу о том как это можно сделать.

Доклад ожидает быть вполне элементарным: для его понимания необходимы только знание основ дифференциальной геометрии. Я постараюсь дать как можно больше примеров и иллюстраций основных объектов диффеологии и в то же время дать все основные определения.


1) P.Iglesias-Zemmour, Diffeology, AMS, 2013, available on the net
2) M.Vincent, Diffeological differential geometry, Master thesis, Univ. Copenhagen, 2008
http://www.math.ku.dk/english/research/top/paststudents/martinvincent.msthes is.pdf
3) Y.Karshon, An Invitation to Diffeology, talk at Conf. Poisson 2014, http://www.youtube.com/watch?v=UVomh_LRHw4

4 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Р.Полищук
Тема: Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна-Картана

1. Уравнения Эйнштейна-Картана-Киббла-Шьямы записаны по аналогии с уравнениями Максвелла и неабелевой квантовой теории поля в виде: кодифференциал дифференциала любого тетрадного потенциала равен сохраняющемуся тетрадному току.
2. Дан анализ дивергенциального члена лагранжиана Гильберта, отличающего его от укороченного лагранжиана Гиббонса-Хокинга.
3. Предложена каноническая калибровка тетрады, задающей шесть 2-направлений экстремальной секционной римановой кривизны.
4. Дан интегральный эквивалент свёрнутых тождеств Бьянки в виде нелокального интегрального закона сохранения.
5. Рассмотрены для примера тетрадные токи миров Шварцшильда и де Ситтера.

25 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты на решениях системы уравнений адиабатического течения газа

Доклад посвящён системе уравнений адиабатического течения  газа в n-мерном пространстве, n=1,2,3.

Характеристические  ковекторы этой системы порождают на каждом её решении геометрическую структуру. Эта структура состоит из гиперплоскости и невырожденного конуса в каждом кокасательном пространстве к решению, пересекающихся только в нуле.

В докладе будут представлены некоторые дифференциальные инварианты этой структуры: векторное поле, метрика и линейная связность, обладающая в общем положении кручением.

В случае политропного течения газа будут представлены явные решения с линейной связностью без кручения.

17 февраля (вторник) в 17:00 в ауд.303 состоится мини-конференция (на английском языке) «Интегрируемые уравнения».
Vsevolod Adler (Chernogolovka) Тема: On the combinatorics of several integrable hierarchies
Evgeny Ferapontov (Loughborough) Тема: Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein-Weyl geometry (based on joint work with Boris Kruglikov)
Vladimir Sokolov (Chernogolovka) Тема: Algebraic quantum Hamiltonians on the plane
Raffaele Vitolo (Lecce) Тема: Projective-geometric aspects of homogeneous third-order Hamiltonian operators and applications to WDVV equations

Аннотации докладов можно найти на сайте http://gdeq.org/Mini-Workshop_on_Integrable_Equations

11 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Слабо-нелокальные однородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона нечётных порядков

Понятие локальных однородных дифференциально-геометрических скобок первого порядка было введено Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в 1983 году. В 1984 году это понятие было расширено на произвольный порядок. В 1990 году Е.В.Ферапонтовым локальные однородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка были обобщены на слабо-нелокальный случай.

В данном докладе рассматривается обобщение локальных однородных дифференциально-геометрических скобок Пуассона произвольного нечётного порядка на слабо-нелокальный случай.

Rambler's Top100