На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Дифференциальная геометрия

Читается очно по четвергам с 17:30 в ауд.310

6 мая занятий не будет.

Курс дифференциальной геометрии является прямым продолжением курса прошлого семестра по анализу на многообразиях. В данном курсе мы закончим изложение необходимых для дифференциальной геометрии сведений из анализа на многообразиях, расскажем необходимые сведения из алгебраической топологии и перейдем к дифференциальной геометрии связностей в векторных расслоениях и римановой геометрии. В качестве примера приложения к другим областям математики мы обсудим построение характеристических классов с помощью конструкции Чженя-Вейля, то есть через кривизну связностей в расслоениях.

Для успешного прохождения курса необходимо знать материал, изложенный в прошлом семестре в курсе анализа на многообразиях.

Листки

[ листок 1| листок 2| листок 3| листок 4]
[ листок 5| листок 6| листок 7| листок 8]
[ листок 9 ]

Программа курса

  1. Тождество Картана и другие тождества для производной Ли и внешнего дифференциала. Определение производной Ли для векторных полей и тензоров произвольного типа (валентности). Риманова метрика, форма объёма.

  2. Ориентация многообразия. Разбиение единицы. Интегрирование форм на многообразиях. Объём ориентированного многообразия. Связь с интегралами первого и второго рода в анализе.

  3. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией. Связь теоремы Стокса из анализа на многообразиях с формулами Грина, Стокса и Гаусса- Остроградского в математическом анализе. Операция Ходжа.

  4. Интегрирование плотностей в неориентируемом случае. Погружения, вложения, подмногообразия.

  5. Распределения, интегральные подмногообразия и теорема Фробениуса.

  6. Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни. Степень отображения.

  7. Группы Ли и алгебры Ли. Действия групп Ли, однородные многообразия.

  8. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носителем. Лемма Пуанкаре. Обратный образ когомологических классов при отображении. Гомотопные отображения. Независимость обратного образа когомологического класса при гомотопии отображения.

  9. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса. Принцип Майера-Виеториса. Свойства когомологий де Рама на многообразиях с покрытием Лерэ.

  10. Векторные расслоения. Склеивающие коциклы. Структурная группа. Евклидовы и эрмитовы расслоения. Естественные операции с расслоениями. Ориентируемые расслоения.

  11. Связности в векторных расслоениях. Локальное задание связности: локальная форма связности, символы Кристоффеля. Кривизна. Связности в евклидовых и эрмитовых расслоениях. Связности, согласованные с метрикой и их кривизна.

  12. Связности в главных расслоениях.

  13. Римановы многообразия. Кручение, кривизна. Связность Леви-Чивиты. Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

  14. Римановы многообразия II. Геодезические. Геодезические как локальные аналоги прямых. Теорема Уайтхеда. Геодезические и полугеодезические координаты. Геодезические как локально кратчайшие. Лагранжево описание геодезических. Вторая вариация, поля Якоби, сопряжённые точки.

  15. Подмногообразия римановых многообразий. Первая и вторая квадратичные формы. Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях. Связь с минимальными подмногообразиями.

  16. Характеристические классы. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Классы Чженя, Понтрягина и Эйлера и их свойства. Характер Чженя и его свойства.

  17. Расслоения и их когомологии. Класс Тома. Конструкция класса Тома по Матаи-Квиллену. Связь класса Тома и класса Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне.