На главную страницу НМУ

Евгений Юрьевич Смирнов

Плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы

Читается по понедельникам с 17:30, очно. Начало 15 февраля.

Видеозаписи на youtube-канале НМУ

Разобьем натуральное число на слагаемые и запишем эти слагаемые в клетках прямоугольной таблицы так, чтобы они нестрого убывали по строчкам и столбцам. Полученный объект называется плоским разбиением (plane partition). Плоские разбиения удобно представлять себе как башни из детских кубиков (трёхмерные диаграммы Юнга): для этого каждое слагаемое нужно заменить на столбик кубиков соответствующей высоты. Производящая функция для количества плоских разбиений числа n была вычислена П.Макмагоном в конце XIX в. Она обобщает знаменитую производящую функцию Эйлера для числа разбиений (т.е. обычных диаграмм Юнга).

Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices) — это квадратные матрицы, все элементы которых равны 0, 1 или -1, причём в каждой строке и каждом столбце 1 и -1 чередуются, а единиц на одну больше, чем минус единиц. В частности, все матрицы перестановок являются знакочередующимися. Знакочередующиеся матрицы были введены У.Миллсом, Д.Роббинсом и Г.Рамси в начале 1980-х годов для решения задач статистической механики -- для описания так называемой модели квадратного льда. Они же сформулировали гипотезу о числе таких матриц (ASM-conjecture), которая была доказана Зельбергером и Купербергом в начале 1990-х годов. Замечательным образом оказалось, что число знакочередующихся матриц равняется числу плоских разбиений, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям симметрии. Основной целью нашего курса будет разбор доказательства этой теоремы, но по пути нам встретится еще много других утверждений из алгебры, комбинаторики, теории гипергеометрических рядов, теории представлений... Впрочем, знать, что такое представление или гипергеометрический ряд, необязатально. Для понимания курса достаточно владеть базовым курсом алгебры и не бояться комбинаторики; курс рассчитан на студентов начиная со второго курса (заинтересованные первокурсники тоже могут попробовать).

Примерная программа курса:

Разбиения. Производящие функции и рекуррентные формулы для разбиений. Пентагональная теорема Эйлера.

Плоские разбиения. Пути на решетке. Трюк Линдстрема-Гесселя-Вьенно. Формула Макмагона.

Плоские разбиения с дополнительными симметриями. Симметричные и циклически симметричные плоские разбиения. Гипотезы Макмагона и Макдональда

Симметрические функции. Функции Шура, полустандартные таблицы. Доказательство гипотезы Макмагона.

Гипергеометрические ряды. Доказательство гипотезы Макдональда.

Вполне симметричные самодополнительные плоские разбиения.

Квадратный лёд. Соотношение треугольник-треугольник Бакстера. Доказательство гипотезы о знакочередующихся матрицах.

Литература

Д.Брессу. Доказательства и подтверждения. М.: МЦНМО, 2019 (в основном мы собираемся следовать этой книге).

Е.Ю.Смирнов. Диаграммы Юнга и знакочередующиеся матрицы. М.: МЦНМО, 2014.